Обчислення рангу матриці.

Наступна теорема не тільки описує вплив перетворень матриці на її ранг, але й дає спосіб визначення базисного мінору.

Теорема 8. Ранг матриці не змінюються при виконанні наступних елементарних перетворень рядків або стовпчиків матриці (будемо називати ці перетворення допустимими):

– множення рядка (стовпчика) на число не рівне нулю;

– додавання до рядка (стовпчика) іншого рядка (стовпчика);

– перестановка двох довільних рядків (стовпчиків).

Таким чином, дана теорема дає наступний метод обчислення рангу довільної матриці – треба виконувати допустимі елементарні перетворення над рядками або стовпчиками матриці, намагаючись звести її до якомога простішого вигляду, коли матриця містить достатню кількість нулів. Проілюструємо цей метод на прикладах, а потім сформулюємо остаточний висновок.

Приклад 3. Обчислити ранг матриці :

Використаємо перший рядок матриці з першим елементом, рівним одиниці, для того, щоб одержати нульові значення під ним так само, як ми це робили розв’язуючи систему методом Гаусса. Перетворення рядків при цьому не змінюватимуть ранг матриці:

Нулі в останніх двох рядках одержані внаслідок додавання до них другого рядка безпосередньо і помноженого на (-1). Отже,

, оскільки очевидно, що базисним мінором є, наприклад, мінор . Будь-який мінор третього порядку обов’язково включатиме нульовий рядок, а отже, буде рівним нулю.

Приклад 4. Обчислити ранг матриці :

Спочатку переставимо перший і другий рядки і елементарними перетвореннями одержимо нулі в першому стовпчику матриці під елементом, рівним 1:

Тепер переставимо другий та третій рядки і одержимо нулі під другим елементом другого рядка:

І нарешті третій рядок помножимо на (-1) та додамо до четвертого:

Матриці такого вигляду будемо називати трапецієподібними. Тепер можна сказати, що

Базисним можна вважати, наприклад, мінор .

Ми скористались тут очевидним фактом, що якщо до будь-якої матриці дописати або викреслити з матриці рядок (стовпчик), повністю складений з нулів, – це не змінить рангу матриці.

Висновок. Для обчислення рангу матриці необхідно звести її допустимими елементарними перетвореннями до трапецієподібного вигляду.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Означення рангу матриці.	\|	Теорема про базисний мінор матриці.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.