МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Розрахунок електричних полів за допомогою теореми Остроградського-Гауса
Для розрахунку електричного поля створеного зарядженим тілом необхідно розбити це тіло на точкові заряди і визначити напруженість електричного поля в деякій точці простору за принципом суперпозиції. Для багатьох тіл такі розрахунки математично досить складні. Для деяких симетричних тіл розрахунок електричного поля значно спрощується при використанні теореми Остроградського-Гауса. Розглянемо деякі приклади таких розрахунків.
а) Електричне поле рівномірно зарядженої кулі.
Розглянемо кулю радіусом R рівномірно заряджену по об’єму з об’ємною густиною заряду . (3.27) Для рівномірного розподілу заряду можна вважати що . (3.28) Оскільки об’єм кулі рівний , (3.29) то підставивши (3.29) в (3.28) одержимо: . (3.30) Виберемо замкнену поверхню S у формі сфери радіусом r, центр якої співпадає з центром зарядженої кулі, як зображено на рис. 3.5. Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля всередині зарядженої кулі. Запишемо теорему Остроградського-Гауса для випадку неперервного розподілу електричного заряду. (3.31) або (3.32) В даному випадку і , тому . (3.33) Виходячи з міркувань симетрії випливає, що величина Е за модулем постійна у всіх точках сферичної поверхні S, тому винесемо Е за знак інтегралу: . (3.34) У формулі (3.34) інтеграл по замкненій поверхні рівний площі сферичної поверхні радіусом r а інтеграл по об’єму V рівний об’єму цієї ж сферичної поверхні, тому , (3.35) . (3.36) Підставимо вирази (3.30), (3.35) і (3.36) у формулу (3.34): . (3.37) Отже всередині рівномірно зарядженої по об’єму кулі напруженість електричного поля прямо пропорційна відстані від центру кулі до даної точки. Розглянемо випадок коли , тобто визначимо напруженість електричного поля ззовні зарядженої кулі (рис. 3.6). Запишемо теорему Остроградського-Гауса. (3.38) або . (3.39) Оскільки вектори і мають однаковий напрямок то . Виходячи з міркувань симетрії можна стверджувати, що модуль Е однаковий в усіх точках поверхні S. Врахуємо також, що поверхня S охоплює кулю з зарядом q, тоді вираз (3.39) набере вигляду: . (3.40) Підставимо (3.35) в (3.40): . (3.41) Із формули (3.41) випливає, що ззовні зарядженої кулі напруженість електричного поля, так само як і для точкового заряду, обернено пропорційна квадратові відстані від центру кулі до даної точки простору. На рис. 3.7 зображено залежність напруженості електричного поля Е від відстані r . б) Електричне поле нескінченої рівномірно зарядженої прямої.
Розглянемо нескінченно довгу пряму, рівномірно заряджену електричним зарядом з лінійною густиною заряду . . (3.42) Лінійною густиною електричного заряду називається фізична величина рівна електричному зарядові одиниці довжини лінії вздовж якої він розподілений. У випадку рівномірного розподілу електричного заряду , (3.43) де – електричний заряд який розподілений вздовж лінії довжиною . В якості замкненої поверхні виберемо циліндричну поверхню радіусом r, висотою , вісь якої співпадає із зарядженою прямою, як зображено на рис. 3.8. Застосуємо теорему Остроградського-Гауса: . (3.44) Інтеграл по замкненій поверхні S запишемо як суму трьох інтегралів: по бічній поверхні, по першій і другій основах. Сумарний заряд, який охоплений поверхнею S, рівний зарядові на ділянці прямої довжиною . Із формули (3.43) цей заряд рівний: . (3.45) Підставимо (3.45) в (3.44): Оскільки і , то одержимо: . З міркувань симетрії випливає, що модуль Е є однаковим в усіх точках бічної поверхні. Тому винесемо Е за знак інтегралу: . (3.46) Інтеграл по бічній поверхні рівний площі цієї поверхні: . (3.47) Підставимо (3.47) у (3.46): . (3.48) З цієї формули випливає, що напруженість електричного поля, створеного нескінченою рівномірно зарядженою прямою обернено пропорційна до відстані між даною точкою простору і прямою. Ця формула справедлива також для нескінченого прямого рівномірно зарядженого циліндра.
в) Електричне поле нескінченної рівномірно зарядженої площини.
Розглянемо нескінченну площину рівномірно заряджену електричним зарядом з поверхневою густиною заряду: . (3.49) Поверхневою густиною електричного заряду називається фізична величина рівна електричному зарядові одиниці площі поверхні по якій розподілений заряд. У випадку рівномірного розподілу електричного заряду q по поверхні S поверхнева густина заряду рівна: . (3.50) В якості замкненої поверхні виберемо циліндричну поверхню з площею основи вісь якої перпендикулярна до зарядженої площини, як зображено на рис.3.9. Застосуємо теорему Остроградського-Гауса . (3.51) Інтеграл по замкненій поверхні S запишемо як суму трьох інтегралів. Сумарний заряд, який охоплений поверхнею S рівний зарядові круга площею Sосн., який вирізує циліндр S на зарядженій площині. Виходячи із формули (3.50), цей заряд рівний (3.52) Підставимо (3.52) в (3.51): Оскільки і , то . (3.53) Інтеграли по поверхнях основ рівні: (3.54) Підставимо (3.54) в (3.53): . (3.55) Із формули (3.55) випливає, що напруженість електричного поля, створеного нескінченною рівномірно зарядженою площиною не залежить від відстані до площини, тобто є однаковою в усіх точках простору по обидва боки від зарядженої площини. Це електричне поле є однорідним. Його силові лінії перпендикулярні до зарядженої площини. Читайте також:
|
||||||||
|