Дії над матрицями

Нехай задано дві матриці однієї розмірності m × n :

a₁₁

^a12

...

^a1n

b₁₁

^b12

...

^b1n

...

A =

...

_{, B}= ²¹

...

²ⁿ_.

...

a_m1

^am 2

...

a_mn

b_m1

^bm 2

...

b_mn

Означення. Сумою (різницею) двох матриць А і В назива-ється така матриця С розмірності m × n , елементи якої с_ij до-

рівнюють алгебраїчній сумі ( різниці ) відповідних елементів a_ij і b_ij матриць А і В , тобто

a₁₁ ± b₁₁ ^a12 ± b₁₂ ... ^a1n ± b_1n

a ± b a ± b ... a ± b

C = A ± B = ... 2n ²ⁿ_.

... ... ...

a_m1 ± b_m1 ^am 2 ± b_{m 2} ... ^amn ± b_mn

Із цього означення випливають властивості:

1. A + B = B + A (комутативність);

2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (асоціативність);

3. A ± 0 = 0 ± A = A (нейтральність);

4. ( A ± B )^T = A^T ± B^T (транспонованість).Приклад 1.Знайти суму і різницю матриць.

A = ³ − 1 2 , _В ₌ 2 1 − 4 _.

⁴ 1 0 − 3 5 6

Розв’язування.

3 + 2 − 1 + 1 2 + ( − 4 ) 5 0 − 2 ,

A + B = =

4 + ( − 3 ) 1 + 5 0 + 6 1 6

3 − 2 − 1 − 1 2 − ( − 4 ) 1 − 2

A − B = = − 4 ^.

4 − ( − 3 ) 1 − 5 0 − 6 ⁷ − 6

Приклад 2.Три магазини“Продтовари”продають продуктипротягом робочого дня. Дані про торгівлю двох змін характеризу-ються таблицями:

І зміна

Вид продукції 1 магазин 2 магазин 3 магазин

Масло селянське (кг)

Ковбаса (кг)

Мінеральна вода (шт. пл. )

Горілка (шт. пл. )

ІІ зміна

Вид продукції 1 магазин 2 магазин 3 магазин

Масло селянське (кг)

Ковбаса (кг)

Мінеральна вода (шт. пл. )

Горілка (шт. пл. )

Знайти дані про сукупний одноденний продаж товару кожним магазином.

Розв’язування. Зміст цих таблиць можна записати у виглядідвох прямокутних таблиць:

А = , В = .

21 25 35 23 28 34

Сума цих двох матриць характеризує дані про сукупний одно-

денний продаж кожного із видів продукції:

С = A + B = + = _.

21 25 3523

Означення. Добутком матриці A на число k (або числa k

на матрицю A ) називається матриця , елементами якої є до-

бутки елементів матриці A на число k :

a₁₁ ^a12 ... a_1n ka ^ka12 ... ka_1n

A ⋅ k == k ⋅ A = k ⋅ ^a21 ^a22 ... ^a2 n ₌ ^ka21 ka₂₂ ... ^ka2 n _.

... ... ... ... ... ... ... ...

^am 2 ... ka_{m 2} ...

^am 1 ^amn ^kam 1 ^kamn

Із означення добутку матриці на число (або числа на матрицю) ви-пливає, що

1. k( mA ) = ( km )A;

2. ( k + m )A = A( k + m ) = kA + mA = Ak + Am;

3. λ( A + B ) =λA +λB;

4. λA = 0 , якщоλ= 0;

5. λA = 0 , якщо A = 0.

Приклад 3.Знайти матрицю4 A,якщо матриця

− 2

− 1

A = − 3 .

Розв’язування. Згідно з означенням,одержимо:

4 ⋅ 3 4 ⋅ 1 4 ⋅ ( −2 ) − 8

4 ⋅ 4 4 ⋅ 0 4 ⋅ ( −1 ) − 4

4 A = 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3 ) 4 ⋅ 5 = _.

− 12 20

4 ⋅ 6 4 ⋅ 2 4 ⋅ 0

Приклад 4.Обчислити матрицюC=2 A−4B,якщо

3 2

A = 5 − 1 , B = − 2 4 _.

Розв’язування. Використавши формулу множення матриці начисло і формулу віднімання матриць, одержимо:

2 A = 10 − 2 , 4B = − 8 16 _,

C = 10 − 2 − − 8 16 = 18 − 18 .

− 24

8 24

Приклад 5.Підприємство виробляє три види продукціїА,В,С.Норми витрат ресурсів на одиницю продукції задані в таблиці:

Ресурси А В С

Сировина X (шт.)

Сировина Y (кг) 1,5 1,4

Сировина Z (кг) 2,3

Знайти витрати ресурсів на виготовлення 6 комплектів проду-

кції.

Розв’язування. Витрати ресурсів на виробництво одиниці ви-робів можна представити у вигляді матриці:

A = 1,5 1,4 _.

2,3

Кожен елемент матриці має певний економічний зміст. На-приклад, a₂₁ = 2 означає, що на виготовлення одиниці виду продук-

ції A витрачається 2 кг сировини Y ; елемент a₁₂ = 4 означає, що

для виготовлення одиниці виду продукції B потрібно витратити 4 шт. одиниць сировини X .

Очевидно, що для знаходження витрат на виготовлення 6 комплектів продукції, потрібно обчислити матрицю 6A , тобто

6 A = 6 1,5 1,4 = 8,4 .

2,3 13,8

Зауваження. Множення матриці на число відрізняється відмноження визначника на число. Матрицю множать на число k , по-множивши всі її елементи на це число. Якщо визначник множать на число k , то множать на нього всі елементи одного якогось рядка (або стовпця).

Нехай матриця A містить m рядків і p стовпців, а матриця B має p рядків і n стовпців.

Означення. Добутком матриць А і В називається матриця С, елементи с_ij якої дорівнюють сумі добутків елементів i-го ря-дка матриці A на відповідні елементи j-го стовпця матриці B,

тобто c_ij=a_i₁b₁_j+a_i₂b₂_j+...+a_ipb_pj ( i=1,2,...,m; j=1,2,...,n ).

Добуток матриці A на матрицю B позначають АВ ( A× B ). Множення матриці A на матрицю B виконується за такою схемою:

a₁₁ ^a12 ... a₁ р . b . . .

... ... ... 1 j

a b . . c

a a 2 j = ij

і1 і2 ір . . . . .

... ... ... ... . b . . .

^am1 ^am 2 ... ^amp pj

. .

. . ^.

. .

Тут елемент c_ij знаходять як скалярний добуток елементів i - го рядка матриці A на відповідні елементи j -го стовпця матриці B .

Добуток матриць характеризується властивостями:

1. AE = EA = A;

2. A ⋅ 0 = 0 ⋅ A = 0;

3. AB ≠ BA (некомутативність);

4. ( AB )C = A( BC ) (асоціативність);

5. ^{( A} ⁺ ^{B )C} ⁼ ^AC ⁺ ^{BC ,} (дистрибутивність);

C( A + B ) = CA + CB

6. ( A ⋅ B )^T = B^T ⋅ A^T .

Ця властивість має місце для довільного числа множників

( A ⋅ A ...A − 1 ⋅ A )^T = A ^T ⋅ A ^T ...A ^T ⋅ A ^T .

n n n n− 1

7. Визначник добутку двох квадратних матриць рівний добут-

ку їх визначників.

Приклад 6.Знайти добуткиABіBA,якщо

− 2 , B =

A ⁼

³ − 1

і переконатись, що AB ≠ BA .

Розв’язування.

1 − 2 2 0 1⋅ 2 + ( −2 )( −1 ) 1⋅ 0 + ( −2 )⋅ 54 − 10

AB = ⁼ ⁼ ^.

3 4 − 1 5 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ ( −1 ) 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 52 20

Аналогічно 1 − 22 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 2 ⋅ ( −2 ) + 0 ⋅ 42 − 4

BA = 2 0

⁼ −1 )⋅ 1 + 5 ⋅ 3 ( −1 )⋅ ( −2 ) + ⁼ ^.

− 1 5 3 4( 5 ⋅ 414 22

Звідси випливає, що AB ≠ BA .

Приклад 7.Знайти добутокAB,якщо

₌ 1 2 − 1 _, − 3 − 2

A B = 0 2 .

Розв’язування.

1⋅ (−3)+ 2⋅ 1+ (−1)⋅ 6 1⋅ (−2)+ 2⋅ 0 + (−1)⋅ (−4) 1⋅ 5 + 2⋅ 2 + (−1)⋅7 =

AB= 0⋅ (−2)+ 3 ⋅ 0 + 4⋅ (−4) 0⋅ 5 + 3⋅

0⋅ (−3)+ 3⋅ 1+ 4⋅ 6 2 + 4⋅7

−7

= ^.

− 16 34

(Тут добуток BA невизначений, оскільки кількість стовпців першої матриці не дорівнює кількості рядків другої матриці).

− 3

Приклад 8.Знайти добутокAE,якщоA=0 − 2 _.

− 4

− 1

Розв’язування.

1 2 − 3 1 0 0

AE= − 2 4 ⋅ 0 1 0 =

− 1 5 − 4 0 0 1

1⋅ 1+ 2⋅ 0 + (−3)⋅ 0 1⋅ 0 + 2⋅ 1+ (−3)⋅ 0 1⋅ 0 + 2⋅ 0 + (−3)⋅ 1

= 0 ⋅ 1+ (−2)⋅ 0 + 4⋅ 0 0⋅ 0 + (−2)⋅ 1+ 4⋅ 0 0⋅ 0 + (−2)⋅ 0 + 4⋅ 1 =

5⋅ 0 + (−4 )⋅ 0 (−1)⋅ 0 + 5⋅ 1+ (−4 )⋅ 0 (−1)⋅ 0 + 5⋅

(−1)⋅ 1+ 0 + (−4 )⋅ 1

− 3

= 0 − 2 4 .

− 1 − 4

(Легко переконатись, що має місце і рівність EA=A).

Приклад 9.Знайти добутокAB,якщо

3 − 1

=− 3 .

A = ₄ − 2 1 ^{, B}

⁻ ⁴

Розв’язування. Добуток цих матриць можливий,оскільки кі-лькість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B. Одержимо

− 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ ( −3 ) + ( −1 ) ⋅ ( −4 )

− 3

AB = − 2 ⁼ = ^.

⁴ ¹ − 4 4 ⋅ 5 + ( −2 )( −3 ) + 1 ⋅ ( −4 )

− 1

Приклад 10.Задано матрицюA=2 1 . Знайти А².

− 2

− 3

Розв’язування.

A² = A ⋅ A = 3 − 1 4 3 − 1 4 =

0 1 . 2 0 1

− 3 − 2 5 − 3 − 2 5

9 − 2 − 12 − + − 8 12 − 1 + − 5 − 11 31

6 + 0 − 3 − + − 2 + 0 + = − 4 13 .

− 28

− 9 − 4 − 15 3 + 0 − 10 − 12 − 2 + 25 − 7 11

Зауваження 1. Добуток двох матриць може бути нульовою ма-трицею і тоді, коли кожна із матриць співмножників не є нульовою.

Приклад 11.Знайти добуток матриць:

² ⁰

A⋅ B =− 3 0 ⋅ 4 − 1 =

1 − 2 6

2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 1 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 5 + 0 ⋅ ( −2 ) 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ ( −1 )+ 0 ⋅ 6

( −3 )⋅ 0 + 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 1 ( −3 )⋅ 0 + 0 ⋅ 5 + 0 ⋅ ( −2 ) ( −3 )⋅ 0 + 0 ⋅ ( −1 ) + 0 ⋅ 6 =

⋅ 0 + 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 1 3⋅ 0 + 0 ⋅ 5 + 0 ⋅ ( −2 )

( −3 )⋅ 0 + 0 ⋅ ( −1 ) + 0 ⋅ 6

= 0 0 .

Зауваження 2 .Добуток двох діагональних матриць одного ітого ж порядку є діагональна матриця того ж порядку.

Приклад 12.Знайти добуток діагональних матриць:

a₁₁

^a22

A =

... ...

⁰

a b

11 11

Тоді A ⋅ B =

...

... b

... , B =

... ... ...

... ^ann ⁰

...

a b ...

_.

... ... ...

... ^ann^bnn

...

b ...

.

... ... ...

... ^bnn

Для таких двох матриць добуток комутативний:

A ⋅ B = B ⋅ A.

Приклад 13.Торговельно-будівельна компанія уклала договірна будівництво 6 житлових будинків, 3 офісних будинків і 4 будинків відпочинку. Ціни на окремі види матеріалів такі:цегла – 32

у.о./тис. шт., цемент – 300у.о./т., ліс круглий - 44у.о./ м³ , оцинкова-

не залізо - 6 у.о./ м² , скло - 5 у.о./ м² .

Інформація про кількість матеріалів на кожний вид будівниц-тва представлена в таблиці:

Вид бу- Цегла Цемент Ліс круглий Оцинковане Скло

дови (тис. шт.) (т) (м²) залізо (м²) (м²)

Житловий

будинок

Офісний

будинок

Будинок

Відпочинку

Портібно знайти:

1)загальну кількість матеріалів;

2)ціну матеріалів для кожного виду будови;

3)загальну вартість матеріалів.

Розв’язування. 1)Запишемо у вигляді матриціАдані,які ха-рактеризують кількість матеріалів на кожний вид будови, а дані про ціни їх у вигляді матриці-стовпця С.

А = 84

,С = 44 .

Позначимо дані про договір, укладений на будівництво

споруд через В = [6 3 ].

Щоб знайти загальну кількість матеріалів для будівництва, потрібно перемножити матриці В і А і знайти добуток BA , тобто

BА=[6 3 4]⋅84 140 = [ 960 116 506 2580 1780 ].

Таким чином, для виконання договору на будівництво 6 житлових, 3 офісних і 4 будинків відпочинку компанія повинна придбати: 960 тис. шт. цегли;116 т цементу; 506 м³ круглого лісу; 2580 м² оцинко-ваного заліза і 1780 м²скла.

2) Щоб знайти загальну вартість матеріалів для кожного виду будівництва, потрібно перемножити матрицю А на матрицю-стовпець С , складену із чисел, які характеризують ціни на відповідні матеріали :

=

АС = 84

⋅ 32 + 9 ⋅ 300 + 41 ⋅ 44 + 210 ⋅ 6 + 120 ⋅ 5

= 84 ⋅ 32 + 10 ⋅ 300 + 40 ⋅ 44 + 200 ⋅ 6 + 140 ⋅ 5 = 9348 .

⋅ 32 +<
Читайте також:
Дiї над матрицями
Дії над матрицями
Дії над матрицями

Переглядів: 938

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Рицею-стовпцем. | Обернена матриця

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.014 сек.