Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Ється виродженою ( або особливою), якщо її визначник А дорів-нює нулю.

Означення3. Матриця А⁻¹ називається оберненою мат-

рицею для квадратної невиродженої матриці А, якщо викону-ються рівності AA⁻¹ = A⁻¹ A = E .

ТЕОРЕМА. Якщо матриця А n−го порядку невиродже-

на, то для неї існує обернена матриця А^-1.

Доведення. Нехай задано квадратну невироджену матрицюА,тобто її визначник А ≠ 0.

a₁₁ ^a12 ... ^a1n

a a ... a

2n

... ... ... ...

A = ^ai 2 ... ^.

^ai 1 ^ain

... ... ... ...

^an2

^an1 ... ^ann

Розглянемо іншу матрицю

A₁₁ ^A21 ... ^Ai 1 ... ^An1

_A A ... A ... A

В = ¹² i 2 n2 ^,

... ... ... ... ... ...

^A1n ^A2n ... ^Ain ... ^Ann

де A_ij - алгебраїчні доповнення елементів a_ij матриці A. Знайдемо добуток АВ:

a₁₁ ^a12 ... ^a1n A A ... A ...

a a ... a

2n i 1

... A A ... A ...

AВ = ^... ... ... i 2

^ai 1 ^ai 2 ... ^ain ... ... ... ... ...

... ... ... ^...A1n ^A2n ... ^Ain ...

a n1 a n2 ... a nn

Кожен елемент c_ij матриці С дорівнює

c_ij = a_i₁ A_j₁ + a_i₂ A_j₂ + ... + a_in A_jn .

A_n1

^An2 ₌ _C _.

...

^Ann

Якщо i ≠ j , то маємо вираз, який є сумою добутків елементів

і-го рядка на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка визна-чника матриці А. За теоремою анулювання ця сума дорівнює нулю.

Якщо i = j , то вираз c_i_і = a_i₁A_i₁ + a_i₂A_i₂ + ...+ a_inA_in представ-ляє собою суму добутків елементів довільного рядка на відповідні алгебраїчні доповнення цього рядка визначника матриці А. За тео-

ремою Лапласа така величина дорівнює визначнику матриці А( А ).

Тобто матриця С має вигляд:

...

С =

...

Якщо кожен елемент цієї матриці С розділити на А (тобто

помножити її на _А¹), то одержимо одиничну матрицю Е , тобто

E =	С =		⋅ А⋅ В = А⋅	⋅ В = А⋅ А⁻ ¹ .
А	А	А

Це доводить теорему.

Отже, обернена матриця має вигляд:

			А₁₁	^А21	...	^Аn1
_А− 1 ₌		_A	A	...	A
				n2	_.
	А		...	...	...	...

				^A2n

			^A1n	...	^Ann

Дамо схему знаходження оберненої матриці для заданої квадратної невиродженої матриці.

1. Обчислимо визначник матриці A( A).

2. Транспонуємо матрицю A , тобто одержуємо матрицю:

	a₁₁	^a21	...	^an1
T	_a		a		...	a	n2
А	=				^.
	...	...	... ...
	^a1n	^a2n	...	^ann

3. Знаходимо алгебраїчні доповнення кожного елемента тран-спонованої матриці А^Т і запишемо їх у вигляді матриці А^П :

A₁₁

^A21

...

^An1

...

=¹²

...

^A1n

^A2n

...

^Ann

4. Поділимо кожен елемент матриці А^П на визначник матриці

A ,тобто помножимо число

на матрицю A^П . Одержана матриця

буде оберненою:

A₁₁

^A21

...

^An1

− 1

...

Матриця A^П ,

^A1n

^A2n

...

^Ann

яка

складена

із

алгебраїчних доповнень

елементів транспонованої матриці, називається приєднаною ( або союзною)до матриціA.

Зауваження 1. Приєднана матриця матиме такий же вигляд

A^П ,якщо транспонувати матрицю,складену із алгебраїчних до-повнень елементів матриці A .

Приклад 1.Знайти обернену матрицю для матриці

− 2
A =	3 − 1 − 3
	− 1

і показати, що AA⁻¹ = A⁻¹A = E . Розв’язування. Визначник цієї матриці

− 2

3 − 1 − 3

= 4 + 24 + 9 − 4 − 18 − 12 = 3.

− 1

Транспонована матриця A^Т має вигляд

− 2

− 1

A^Т = 3 − 1 2 .

− 3

Знайдемо алгебраїчні доповнення кожного елемента цієї

матриці

− 1 2

A = ( −1 )²

⋅

=−2 − ( −6 ) = 4;

− 3

A = ( −1 )³

⋅

3 − 1

=−( 6 − 3 ) =−3;

− 3

A = ( −1 )⁴

⋅

3 − 1

= 6 − 1 = 5;

− 1

= ( −1 )³

⋅

3 2

=−( 6 − 8 ) = 2;

A = ( −1 )⁴

⋅

− 2 − 1

=−4 + 4 = 0;

= ( −1 )⁵

⋅

− 2 − 1

=−( −4 − ( −3 )) = 1;

A = ( −1 )⁴

⋅

3 − 1

=−9 − ( −4 ) =−5;

− 3

A = ( −1 )⁵

⋅

− 2

=−( 6 − 12 ) = 6 ;

− 3

A = ( −1 )⁶

⋅

− 2 3

= 2 − 9 =−7.

− 1

Приєднана матриця буде такою:

− 5

A^П =

− 3

6 .

⁵

− 7

Обернена матриця А^-1 для заданої матриці А має вигляд

− 5

−

− 1

− 3 0 6

− 1 0

− 7

−

⁵

Легко перевірити,що

4 2

− 5 − 2 3

1 0 0

− 1

A =

− 3 0 6

− 1

− 3

= 0 1 0

;

5 1

− 7 − 1 2

0 0 1

−

1 0 0

3 3

− 1

3 − 1

− 3

− 1 0

= 0 1 0

− 1 2

−

0 0 1

Приклад 2.Знайти обернену матрицю для матриці

		− 2
	− 2
A =			^.
		− 2	− 4

Розв’язування. Обчислимо визначник цієї матриці:

		− 2

A	=		− 2 4		=−16 + 12 − 2 − 12 + 16 + 2 = 0.

				− 2	− 4

Оскільки A = 0 , тобто матриця A вироджена, то оберненої

для неї не існує.

Зауваження 2. Квадратна невироджена матриця другого по-

рядку A = ¹¹

^a21

мулою : A⁻ ¹ =

^a12 має обернену A⁻¹ і вона знаходиться за фор-

^a22

1 a − a

^.

A ⁻ ^a21 ^a11

Приклад 3.Знайти обернену матрицю до матриці

A = .

Розв’язування. Задана квадратна матриця другого порядку не-вироджена, оскільки її визначник

^{3 4} = 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 1 = 15 − 4 = 11 ≠ 0 ,

1 5

тому обернена до матриці A існує і її можна знайти за попередньою формулою:

A⁻ ¹ = ¹ ₋⁵₁ ⁻₃⁴ .

11

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Обернена матриця	\|	Ранг матриці

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.015 сек.