Скалярний добуток двох векторів

Означення. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин (модулів) на косинус кута між ними.

→

Скалярний добуток векторів aіb позначається символом

→ →

a⋅ b .За означенням

→ →		→ →
a⋅ b	=		a	b	cos ϕ,	(2.12)

→

де ϕ - кут між векторами aіb (мал.21), причому 0 ≤ ϕ ≤ π

На основі формули (2.7) формулу (2.12) можна записати так:

а)

→				б)		→
в								в
									φ
φ		А
						А	→

	а	Мал.21.	а

		→ →		→	→
		a⋅ b	=		a		Пр_→ b	(2.13)

або аналогічно

→ → → →

a⋅ b = b Пр_→ a (2.14)

b

Отже, скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку мо-дуля одного з них на проекцію другого вектора на напрям першого.

Поняття скалярного добутку випливає із задач механіки. Відомо, що робота A сили F при прямолінійному переміщенні матеріальної точки на шляху l знаходять за формулою

∧ (2.15)

A = F ⋅ l cos( F ,l )

Розглянемо деякі властивості скалярного добутку:

→ → → →

1) a⋅ b = b⋅ a -переставний закон.

Доведення. За означенням скалярного добутку

→ →→ → → →→ → →→ = → →

a⋅ b = a b cos ϕ і b⋅ a = b a cos ϕ , але a b b a як добуток

→ → = → →

чисел, то a⋅ b b⋅ a .

→ → → `→

2) λ( a⋅ b ) = ( λ a )⋅ b -сполучний закон.

Доведення. На основі формули (2.14) маємо, що

→ → → →

( λ a )⋅ b = b Пр_→ ( λ a ),

b

→ →

Згідно з властивостями проекцій §6 Пр_→ ( λ a ) = λПр_→ a .

b b

Таким чином,

→→ → → → → → →

( λ a ) ⋅ b = b Пр _→ ( λ a ) = b λ Пр _→ a = λ b Пр _→ a .

b b b

→ → → →

З другого боку, на основі формули (2.14), маємо b Пр_→ a = a⋅ b .

→ → → → → → b

Отже, ( λ a )⋅ b =λ( b Пр_→ ( λ a ) =λ( a⋅ b ) .

b

→ → → → → → →

3) a( b + c ) = a⋅ b + a⋅ c -розподільний закон.

Доведення. На основі формули(2.14)маємо

→→ → → → →

a ( b + c ) = a Пр _→ ( b + c ),

a → → → →

Згідно з властивостями проекцій Пр_→ ( b + c ) = Пр_→ b + Пр_→ с

Таким чином, a a a

→ →→→ →→→ → →→ →→ →

a( b + c ) = a Пр_→ ( b + c ) = a ( Пр_→ b + Пр_→ c ) = a Пр_→ b + a Пр_→ с .

a a a a a

→ → → → → → → →

На основі формули (2.14) маємо, що a Пр_→ b = а⋅ b і a Пр_→ с = а⋅ с

a a

→ → →→ → → →→ →→ →

Значить a( b + c ) = a Пр_→ b + a Пр_→ с = a⋅ b + a ⋅ c .

→ → → ² a a

4) a ⋅ a = a .

Доведення. За означенням скалярного добутку

→ → → → → ² →

a⋅ a = a a cos 0 = a , якщо a ≠ 0.

→ → → →

Якщо a = 0 ,то добуток a⋅ a = 0 ,але тут a = 0 і рівність

→ → → ²

a⋅ a = a також правильна.

→ →

Скалярний добуток a⋅ a називають скалярним квадратом век-

→ → → → ² → ² → → ²

тора a , тобто a⋅ a = a = a і звідси a = a .

→ → → → → → → → = 0 .

5) a⋅b=0 ,якщоa ⊥ b і навпаки,якщо a ⊥ b ,то a⋅ b

Доведення. За означенням скалярного добутку

→ → → → ϕ = ^π , то вектори → →

a⋅ b = a b cos ϕ. Якщо a і b перпендикулярні,

то cos ϕ = 0 , ϕ = ^π ,

→ → → → → →

cos ϕ= 0 і a⋅ b = 0 .Якщо a⋅ b = 0 ,але a b ≠ 0 ,

→ →

тобто вектори a і b перпендикулярні.

◙ Скалярний добуток векторів в координатній формі.

→ → →

Тому що одиничні вектори (орти) i , j , k осей Ox ,Oy,Oz

прямокутної системи координат взаємно перпендикулярні, то на основі п’ятої властивості скалярного добутку, маємо

→ →→ → → →→ → → →→ →

i ⋅ j = j⋅ i = 0 , j⋅ k = k⋅ j = 0 , i ⋅ k = k⋅ i = 0. (2.16)

Крім цього, за четвертою властивістю скалярного добутку

→ → → → → →

i ⋅ i = 1, j⋅ j = 1, k⋅ k = 1. (2.17)

Нехай задано два вектори з своїми координатами

→ →

a = ( x₁ ; y₁ ; z₁ ), b = ( x₂ ; y₂ ; z₂ ).

Запишемо розклади цих векторів по ортам (формули 2.11)

→ → → → → → → →

a = x₁ i + y₁ j + z₁ k , b = x₂ i + y₂ j + z₂ k .

Знайдемо скалярний добуток цих векторів

→ → → → → → → →

a b = ( x₁ i + y₁ j + z₁ k )( x₂ i + y₂ j + z₂ k ) .

Використовуючи формули (2.16), (2.17) знаходимо

→ →

a b = x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁z₂ (2.18)

Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі

добутків однойменних координат цих векторів.

→ →

Якщо a = b , то x₁ = x₂ , y₁ = y₂ , z₁ = z₂ . При цьому

отримаємо на основі рівності (2.18), що

→ ² = x₁² + y₁² + z₁² , або → = x₁² + y₁² + z₁²

a a (2.19)

Довжина вектора дорівнює квадратному кореню із суми квадратів його координат.

Із формули (2.12) знаходимо кут між двома векторами

→ →

cos ϕ= a⋅ b (2.20)

→ →

a b

Формулу (2.20) на основі формул (2.18) і (2.19) запишемо у

вигляді cos ϕ= x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁z₂ (2.21)

x₁² + y₁² + z₁² ⋅ x₂² + y₂² + z₂²

→ →

Якщо вектори a і b є колінеарні, то вони задовольняють

умові (2.6) , а саме → →

b =λ a (2.22)

→ →

де скалярний множник λ > 0 , коли вектори b і a мають одинако-

вий напрям, і λ<0 якщо протилежні напрями. Рівність (2.22) в координатній формі запишеться так:

x₂ =λx₁ , y₂ =λy₁ , z₂ =λz₁ або x₂ = y₂ = z₂ = λ (2.23)

x₁ y₁ z₁

Умова (2.23) → →

є умовою паралельності векторів a і b .Отже,

→ →

якщо вектори a і b колінеарні, то їх однойменні координати пропорціональні і навпаки.

Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності

→→ → → = 0 або в координатній формі

векторів a і b є рівність a b

x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂ = 0 (2.24)

Умова (2.24) є умовою перпендикулярності двох векторів.

→

Приклад 1.Знайти проекцію вектораa=( 4;4;2 )на напрям

→

вектора b = ( 2;1;2 ).

Розв’язування. Із формули (2.14) одержимо

→ → →

a⋅ b 4 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2

Пр_→ a = = = .

b → 2² + 1² + 2²

b

→ → → →

Приклад 2.Виразити через орти i , j , k орт a вектора

→ = ( 3;−2;6 ) .

a

Розв’язування. Одиничний вектор

→ → → → →

a 3 i − 2 j + 6 k = → − → + →

a = =

i j k .

→ 3² + ( −2 )² + 6 ²

a

Приклад 3.Підприємство випускає продукцію чотирьо видівв кількості 210, 160, 172 і 300 штук. Ціни в одних і тих же грошових одиницях задані в такому порядку: 4,3;1,2;7;2,1. Обчислити сумарну ціну всієї продукції.

Розв’язування. Запишимо дані про випуск продукції у вигляді

→

векторів а = ( 210;160;172;300 ) , а також ціни одиниці кожної із

→

виду продукції b = ( 4 ,3;1,2;7 ,0;2,1 ) .Тепер сумарна ціна П всієї продукції запишеться на основі формули 2.18.

→ →

П = a b = 210 ⋅ 4 ,3 + 160 ⋅ 1,2 + 172 ⋅ 7 ,0 + 300 ⋅ 2,1 = 2929 .

§12. n-мірний вектор і векторний простір

Множина всіх векторів, які ми розглядали на площині або в просторі і для яких визначені операції додавання векторів, множен-ня вектора на число є простими прикладами векторного простору.

Означення1. Упорядкована множина n дійсних чисел, за-писаних у вигляді ( a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n ) називається n- мірним векто-

ром. Числа a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n називаються координатами вектора

→ →

a , тобто a = ( a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n ) .

Поняття n-мірного вектора широко використовується в економіці, наприклад, деякий набір товарів можна охарактеризувати

→ = ( a₁ ,a₂ ,a₃ ,...,a_n ) ,а відповідно ціни вектором

вектором a

→ = ( b₁ ,b₂ ,b₃ ,...,b_n ).

b

Якщо в n-мірного вектора одна координата дорівнює одиниці, а всі решту рівні нулю, то такий вектор називається одиничним. Очевидно, що існує n різних одиничних векторів

→ → →

e₁ = ( 1,0 ,0 ,...,0 ), e₂ = ( 0 ,1,0 ,...,0 ),... e_n = ( 0 ,0 ,0 ,...,1 ),

які виходять із початку координат точки О. Всі означення і дії для

двомірних і тримірних векторів, заданих в координатній формі, роз-повсюджуються і на n-мірні вектори (n≥4).

Два n-мірні вектори рівні тоді і тільки тоді, коли їх відповідні компоненти рівні.

→ →

Вектор a = ( a₁,a₂,a₃,...,a_n) і вектор b = ( b₁ ,b₂ ,b₃ ,...,b_n )

рівні, коли a_i=b_i(i = 1,2,3,...,n ).

Сумоюдвохn-мірних векторів → →

a і b є третійn-мірний вектор

→

с ,координати якого дорівнюють сумі відповідних однойменних

→ →

координат векторів a і b , тобто с_i = a_i + b_i(i = 1,2,3,...,n ).

→ на дійсне число λ називається вектор

Добуткомвектораa

→ →

d =λ a ,координати якого d_i дорівнюють добутку числа λ на

→

відповідні координати вектора a , тобто d_i = λa_i(i = 1,2,3,...,n ).

Вектор, у якого всі координати дорівнюють нулю, називається

→

нульовим векторомі позначається0=( 0 ,0 ,...,0 ).

Операції над довільними векторами задовольняють влас-тивостям:

→ → → →

1. a + b = b + a -переставний закон;

→ →→ → → →

2. ( a + b ) + с = a + ( b + c ) −сполучний закон;

→ → сполучний закон, відносно числового

3. α( β a ) = ( αβ ) a -

множника; → → → →

розподільчий закон відносно суми

4. λ ( a + b ) =λ a +λ b -

векторів;

→ → →

5. ( α+β ) a =α a +β a -розподільчий закон відносно суми

числових множників.

→ = ( 0 ,0 ,...,0 ), такий,що → → →

6. Існує нульовий вектор 0 a + 0 = a

→

для довільного вектора a ;

→ →

7. Для довільного вектора a існує протилежний вектор (- a ),

→ →→

такий, що a + ( − a ) = 0.

→ → →

8. 1 ⋅ a = a ,для довільного вектора a (особлива роль число-

вого множника 1).

Означення. Множина векторів з дійсними координатами, в якій визначено операції додавання векторів і множення вектора на число, які задовольняють вище приведеним восьми властиво-стям називається векторним простором.

→ → →

Зауваження. Якщо під векторамиa , bі сможна розглядати

елементи довільної природи, то відповідна множина елементів називається лінійним простором.

Лінійним простором є, наприклад, множина всіх алгебраїчних многочленів степені яких не перевищують натурального числа n . Якщо множина всіх многочленів точно дорівнює натуральному чис-лу n, то не буде лінійним простором тому, що сума двох многочленів може виявитися многочленом, степінь якого менше n.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Дії над векторами, заданими в координатній формі	\|	Базис. Розклад вектора по даному базису

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.024 сек.