Віддаль від точки до прямої

Нехай маємо пряму l, задану рівнянням xcosα + y sinα − p = 0

і точку М₀ (х₀,у₀) Потрібно знайти віддаль від цієї точки до прямої l. Через точку M₀( x₀; y₀) проведемо пряму l₁ паралельну прямій l

Шукану віддаль від точки М до прямої l позначимо через d = M_оD. Тому що OP = p, а OP₁ = p₁ ,то d = p₁ − p.

Якщо б точка М₀ знаходилася на тій же віддалі від прямої l , але з другого боку, то тоді d = −( p₁ − p ).

Таким чином, шукана віддаль визначається рівністю d = ±( р₁ − р)або d = p₁ − p .

Нормальне рівняння прямої l₁ паралельної l має вигляд

x cos α+ y sin α − p₁ = 0 . (2.67)

Тому що точка M₀( x₀; y₀) знаходиться на прямій l₁ , то її

l₁ у координати задовольняють рів-

нянню (2.67), тобто

x₀ cos α+ y₀ sin α − p₁ = 0

l P₁ М₀(х₀,у₀) і звідси p₁ = x₀cos α + y₀sin α .

P Підставляючи значення p₁ в

D

p рівність d = p₁ − p , одержимо

О ^х d = x₀ cos α + y₀ sin α − р (2.68)

Мал.43 Формула (2.68) є форму-

лою віддалі від точки M₀( x₀; y₀)

до прямої, заданої нормальним рівнянням.

Якщо ж пряма задана загальним рівнянням, то віддаль від то-

чки M₀( x₀; y₀) знаходиться за формулою

d = Ax₀ + By₀ + C

. (2.69)

A² + B²

Приклад.Знайти віддаль від точкиМ₀ ( 3;4 )до прямої

4 x − 3 y + 10 = 0.

Розв’язування. Тепер підставляємо замістьx₀іy₀координа-ти точки M₀ , тобто x₀ = 3, y₀ = 4 в формулу (2.69) і знаходимо

шукану віддаль d = 4 ⋅ 3 − 3 ⋅ 4 + 10 = = 2.

² + ( −3 )²

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Нормальне рівняння прямої	\|	Площина та її рівняння

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.