Нормальне рівняння прямої

Нехай положення прямої на площині визначається двома величинами (параметрами прямої) : довжиною і напрямком перпендикуляра ОР, опущеного із початку координат на пряму і ве-личиною кута α , який утворює даний перпендикуляр з віссю Ox

(мал.42).

На прямій l візьмемо довільну точку M ( x , y ) . Позначимо

довжину перпендикуляра через ^p ^, ^а

у

→

орт нормалі через n . Проекція раді-

→ →

ус-вектора r = OM на нормаль буде

завжди рівною p .

Таким чином, пряма l визна-

чається як геометричне місце точок О

площини, проекції радіус-векторів

яких на нормаль дорівнює сталій ве-

личині p .

На основі скалярного добутку маємо →

→ →

Пр_→ r = r ⋅ n ,

n

→ → = p .

r ⋅ n

М(х,у)

P

х

^l Мал.42

(2.62)

Рівняння (2.62) є нормальним рівнянням прямої у векторній формі.

→ = 1 ,координати →

Тому що n n = (cos α , sin α ) ,вектор

→

OM = ( x , y ), то в координатній формі рівняння(2.62)буде мати ви-гляд

x cos α+ y sin α − p = 0 .

(2.63)

Якщо пряма лінія задана загальним рівнянням Ax + By + C = 0,

то це рівняння можна звести до нормального рівняння прямої (2.63).Помножимо загальне рівняння прямої на деякий множник μ

μAx +μBy +μC = 0 , (2.64)

Одержане рівняння і загальне рівняння прямої рівносильні. Щоб рівняння (2.64) було нормальним, тобто мало вигляд (2.63) по-трібно, щоб виконувалися рівності

μA = cos α ,

(2.65)

μB = sin α ,

=− p.

μC

Перші дві рівності в (2.65) піднесемо до квадрату і додамо.

Тоді одержимо, що

μ = , (2.66)

± A² + B²

μназивається нормувальним множником.

Третя рівність (2.65) встановлює знак множника μ , а саме знак μ є протилежним знакові вільного члена C .

Приклад 4.Привести до нормального вигляду рівняння

4 x − 3 y − 7 = 0.

Розв’язування. Знаходимо нормувальний множник

μ = = .

+ 4 ² + ( −3 )²

(вибираємо знак плюс, так як C = −7 < 0 ).

Помноживши на дане рівняння, одержимо

⁴ x − ³ y − ⁷ = 0.

5 5 5

Одержане рівняння і є нормальним рівнянням прямої. В цьому

рівнянні cos α =	,	sinα=−	,	p =	.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Загальне рівняння прямої та його дослідження.	\|	Віддаль від точки до прямої

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.