Достатні умови екстремуму

ТЕОРЕМА (перше правило). Якщо похідна функції f ' ( x )

при переході через критичну точку x₀ зліва направо змінює знак з “+”на “-“, то f ( x ) має максимум в точці x₀ , якщо зміна

знаку відбувається з “-“ на “+”, то функція має мінімум в цій точці.Відсутність зміни знаку вказує на відсутність екстремуму.

Доведення. Якщо похідна f ' ( x ) при переході через точку

x = x₀ змінює знак з “+”на “-“, то це означає, що при досить мало-

му х похідна f ' ( x ) додатня на проміжку ( x₀ − x , x₀ ) і

від’ємна на проміжку ( x₀, x₀ + x ). Отже,функція f ( x ) зростає

на проміжку ( x₀ − x , x₀) і спадає на проміжку ( x₀, x₀ + x ),тоб-

то в точці x₀ досягає максимуму.

Аналогічно доводиться твердження теореми відносно

мінімуму функції.

ТЕОРЕМА.(друге правило).Якщо в точці x₀ перша похідна f′(x) функції f(x) дорівнює нулю,а її друга похідна f″(x) непере-рвна в околі цієї точки і f″(x)≠0, то функція f(x) має максимум в точці x₀, коли f '' ( x₀ )<0 і мінімум , коли

f '' ( x₀ ) > 0.

Доведення. Нехай f ' ( x₀ ) = 0 і f '' ( x₀ ) > 0. Тоді внаслідок

неперервності f '' ( x ) вона додатня в малому інтервалі

( x₀ − x , x₀ + х ). Це означає,що f ' ( x ) ,для якої f '' ( x ) є похід-

ною, зростає в цьому інтервалі. Оскільки f ' ( x₀ ) = 0 ,то на проміж-

ку ( x₀ − x , x₀ ) похідна f ' ( x ) < 0 , а на проміжку ( x₀, x₀ + x )

похідна f ' ( x ) > 0.

Тому f ( x ) в інтервалі ( x₀ − x , x₀ ) спадає, а в інтервалі

( x₀ , x₀ + x ) зростає. Значить, в точці x₀ функція f ( x ) має міні-

мум.

Читайте також:
Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.
Аналогія як умовивід
Блок 4. Умови та охорона праці.
Блок перевірки умови
БУДОВА ТА УМОВИ ФОРМУВАННЯ ШАРУВАТИХ ТОВЩ
Види аудиторських висновків та умови їх надання
Види і типи організаційних структур та умови їх ефективного застосування
Види й типи організаційних структур та умови їх ефективного застосування
Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
Винесення внутрішніх, розумових дій назовні називають екстеріоризацією.
Виплати кредиту рівними сумами за умови змінності процентних ставок по кредиту
Вирішення суперечок між суб'єктами страхування. Умови припинення дії договору.

Переглядів: 1067

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Обхідні умови екстремуму. | Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.