Обхідні умови екстремуму.

ТЕОРЕМА.(необхідна умова екстремуму).

Якщо функція f ( x ) має в точці x₀	екстремум, то її похі-
дна в цій точці дорівнює нулю, або не існує.
Доведення. Нехай в точці	x₀ функція	f ( x ) має похідну і
досягає максимуму. Це означає,	що при достатньо малому х

маємо	f ( x₀ + x ) ≤ f ( x₀ ).	З цього	випливає, що відношення
	f ( x₀	+ x ) − f ( x₀ )	≥ 0 , якщо	x < 0	і	f ( x₀ + x ) − f ( x₀	)	≤ 0 ,
		x	x

якщо	x > 0. Переходячи в нерівностях до границі,дістанемо

f ' ( x₀ ) ≥ 0 і f ' ( x₀ ) ≤ 0.

А це може одночасно виконуватись тільки при f ' ( x₀) = 0.

Аналогічно доводиться перша частина теореми у випадку, ко-ли функція f ( x ) досягає в точці x₀ мінімуму.

Але неперервна функція f ( x ) може мати екстремум в точ-ках, в яких похідна не існує. Наприклад, функція y = x в точці

x = 0 не диференційована,але досягає в ній мінімуму,що видно зграфіка (мал.3).

Такі точки називають кутовими. Але ці умови не є достатніми. Похідна може дорівнювати нулю не тільки в точках екстремуму.

Так похідна функції y = x³ є y' = 3 x² . В точці x = 0 y' = 0 , але в

цій точці функція не досягає екстремального значення.

Точки, в яких похідна функціі дорівнює нулю або не існує на-зивають стаціонарними або критичними точками першого роду.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Для будь-яких достатньо малих x.	\|	Достатні умови екстремуму

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.