Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Похідна функції по напрямку

Нехай функція z = f ( x , y ) задана в деякій замкнутій області D площини x0 y .

Нехай в цій області задана точка M₀( x₀, y₀) . Надамо прирос-

ту аргументам	відповідно	x і	y ,тоді	отримаємо	точку
M ( x₀ + x , y₀ +				→		→	→
y ) .Розглянемо вектор M₀ M =	x ⋅ i +	y ⋅	j .
						→
Позначимо через ϕ кут, який утворює вектор	M₀ M з віссю
0 x ,а через l -довжину цього вектора.Тоді можна записати:
x = l cos ϕ ,	y = l sinϕабо dx = l cos ϕ , dy = l sinϕ.
		→	→	→
Таким чином:	M₀ M = l cos ϕ ⋅ i	+ l sinϕ j . Значення функції
z = f ( x , y ) в точках M₀ і M відповідно будуть такі:
f ( x₀ , y₀ ) і f ( x₀ + l cos ϕ , y₀ + l sin ϕ ) .
Звідси випливає, що коли зафіксувати точку	^M0	і напрямок
→
вектора M₀M і міняти тільки l , то функцію z = f ( x , y ) можна за-
писати у вигляді z = F ( l ), а її значення в точках M₀	і M
відповідно F ( 0 ) і F ( l ). Таким чином

F ( l ) = f ( x₀ + l cos ϕ , y₀ + l sin ϕ ).

Згідно означення похідної функції однієї змінної, похідна фу-нкції z = F ( l ) по змінній l дорівнює

dz	= lim	F ( l ) − F ( 0 )	= lim	z _.
	l − 0
_dll →0	l →0	l

Цю границю назвемо похідною функції z = f ( x , y ) по дано-му напрямку. Виходячи із викладеного вище, функцію z = f ( x , y )

можна вважати складною функцією по l . Її повна похідна по l до-рівнює

∂z

⋅

∂z

⋅

∂x dl

∂y dl

Але dx = l cos ϕ , dy = l sin ϕ , тому

∂z

сosϕ+

∂z

sin ϕ.

∂x

∂y

Цю формулу можна узагальнити на випадок функції трьох змінних u = f ( x , y ,t ) . В цьому випадку напрямок задається векто-

→

ром n(cosα ,cosβ ,cos γ ) і формула диференціювання по напрямку відповідно матиме вид

=^∂^u cos α+

^∂^u cosβ+

^∂^u cos γ.

∂x

∂y

∂z

Встановимо зв’язок між похідною функції z = f ( x , y ) по на-

прямку і градієнтом цієї функції. Для цього розглянемо вектори

→

∂z

→

∂z

→

q = qradz =

⋅ i +

⋅ j

і a

= cos ϕ i + sinϕ j .

∂x

∂y

→

Помножимо скалярно вектор q на вектор a , отримаємо:

→ →

∂z

( q

⋅ a ) =

∂z

cos ϕ+

sin ϕ.Таким чином,

∂x

∂y

→

→ →

( qradz ⋅ a ) = ( q⋅ a ) .Згідно з означенням скалярного до-

→

∂z

бутку

⋅

⋅ cos α=

⋅ 1 ⋅ cos α.

∂x

∂y

Із цієї формули випливає, що у випадку, коли напрямок век-

→

α= 1 )

тора a співпадає з напрямком вектора q(cos

→

∂z ²

∂z

dl _max

∂x

∂y

Висновок. Похідна функції z=f(x,y) має найбільше значення по

→

напрямку градієнта q і дорівнює модулю градієнта

Приклад 3. Обчислити градієнт функції z =

x² + y²

в точці

M₀(3,4).

Розв’язування. Знаходимо частинні похідні функції

∂z

2 x

;

∂z

2 y

2 x² + y²

x² + y²

2 x² + y²

_x2

∂x

∂y

+ y²

Обчислимо їх значення в даній точці:

∂z( M₀ )

;

∂z( M₀

)

∂x

∂y

→

Таким чином q

= qradz =

⋅ i

⋅ j ,

= 1.

§ 6. Повний приріст та повний диференціал функції

багатьох змінних

Нехай z=f(x,y) - функція двох змінних. Надамо обом змінним

прирости відповідно

x і y,

тоді функція z отримає приріст

z = f ( x + x; y + y ) − f ( x , y ), який називається повним приро-

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Градієнт функції багатьох змінних. Похідна функції по напрямку	\|	Стом функції.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.