МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Диференціальні рівняння 1-го порядку.У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку може бути записано у вигляді . Рівняння виду (1) або , (2) а також рівняння, котрі за допомогою алгебраїчних перетворень приводяться до рівнянь (1) або (2), називаються рівняннями з відокремлюваними змінними. Відокремлювання змінних в рівняннях (1), (2) виконується за таким способом. Припустимо, що , і розділимо обидві частини рівняння (1) на . Для рівняння (2) обидві його частини помножимо на dx і розділимо на . В результаті отримаємо рівняння з відокремленними змінними , , котрі інтегруються за формулою , . . Означення. Рівняння , (4) лінійне стосовно невідомої функції y та її похідної , називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Такого типу рівняння може бути розв’язано методом варіації довільної сталої за таким способом. Замість сталої C в розв’язку однорідного рівняння введемо нову функцію , і в якості розв’язку неоднорідного ріняння (1) будемо розглядувати , (5) де будемо розшукувати невідому функцію . Диференціювання (5) дає . (6) Підставляючи (5) і (6) в дане рівняння, одержимо , тобто ® . Інтегруванням останнього результату знаходимо . Отже, загальний розв’язок рівняння (4) завжди може бути записаний у вигляді , (7) де C - довільна стала.
6.3. Диференціальні рівняння 2-го порядку. Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами має вигляд: у΄΄+р у΄+qy=0, (1) де р і q – сталі дійсні числа. Будемо шукати частинний розв’язок у вигляді y = ekx, тоді у΄= k ekx , у΄΄= k2 ekx к2 ekx+рк ekx+ q ekx=0 ekx(к2+ pk+ q)=0 k2+pk+ q=0 (2) Рівняння (2) називається характеристичним. Розв’язавши його, знайдемо два частинні розв’язки рівняння (1): . Розглянемо 3 випадки:
1) Корні характеристичного рівняння дійсні, різні. Тоді у1 = ek1x , у2 = ek2x і загальний розв’язок:
у=С1 ek1x + С2 ek2x, с1, с2 – довільні сталі.
2) Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, кратні. Якщо k є двократний корінь характеристичного рівняння, то йому відповідають два різних частинних розв’язки, а саме у1 = ekx , у2 = хekx. Загальний розв’язок буде у= ekx(С1+ С2х), с1, с2 – довільні сталі.
3) Корені характеристичного рівняння комплексні: к1=α+βі; к2= α-βі, де .
Тоді частинні розв’язки: у1 = e(α+βі)х, у2 = e(α-βі)х.
Користуючись показниковою формою комплексного числа і його похідними, можемо записати у1 = e αхcosβх, у2 = e αхsіnβх.
Загальний розв’язок: у=e αх(с1 cosβх+ с2sіnβх), с1, с2 – довільні сталі.
Читайте також:
|
||||||||
|