Нормальний розподіл.

Означення 3. Випадкову величину X називають розподіленою нормально, якщо щільність її імовірностей має вигляд

де а та σ - параметри розподілу.

Графік цієї функції f(x) називають нормальною кривою або кривою Гаусса.

Повне дослідження цієї функції методами диференціального числення дозволяє побудувати графік нормальної кривої, який зображено на Рис. 7.2.

При a = 0 та σ = 1 нормальну криву називають нормованою, її рівняння буде

Тобто це є функція Лапласа, яка табульована.

Заміна змінної Z = (X-a)/σ, використання інтеграла Пуассона

та формул (7.1), (7.2) дозволяють одержати числові характеристики нормально розподіленої НВВ X у вигляді

М(Х) = a; D(X) = σ²; σ (Х) = а.

Отже, математичне сподівання нормального розподілу дорівнює параметру а цього розподілу, а середнє квадратичне відхилення дорівнює параметру σ.

Зауваження 3. Якщо випадкова величина X розподілена за нормальним законом з параметрами а та σ , то випадкова величина Z = (X-a)/σ буде розподілена за нормованим нормальним законом і M(Z) = 0, σ(Z) = 1.

Інтегральною функцією нормального закону розподілу буде

а для нормованого нормального закону

(7.7)

Імовірність влучення в інтервал (с, d) нормально розподіленої випадкової величини X знаходять за формулою

(7.8)

де функція Лапласа Ф(х) має вигляд (7.7).

Приклад 4. Випадкова величина X розподілена за нормальним законом, її математичне сподівання дорівнює 30, а середнє квадратичне відхилення - 10. Знайти імовірність того, що X матиме значення з інтервалу (10,50),

Розв’язання. Згідно умови a = 30, σ = 10, тому за формулою (7.8) одержимо

Тут використано властивість непарності інтегральної функції Лапласа Ф(-х) = -Ф(х) та значення Ф(2) з таблиці значень цієї функції.

Приклад 5. Зріст студентів розподілено за нормальним законом» Математичне сподівання зрісту студентів дорівнює 175 см. а середнє квадратичне відхилення - 6 см. Визначити імовірність того, що хоча б один із п'яти викликаних навмання студентів буде мати зріст від 170 до 180 см.

Розв’язання. Зріст студента X - випадкова величина, яка за умовою задачі розподілена нормально з математичним сподіванням М(Х) = 175 см, та середнім квадратичним відхиленням σ = 6 см.

Позначимо події: А - із 5 викликаних студентів зріст хоча б одного належить проміжку (170,180); А - зріст усіх 5 викликаних студентів не належить проміжку (170,180).

Величина X розподілена нормально, тому за формулою (7.8) знайдемо імовірність того, що зріст одного викликаного студента належить проміжку (170,180)

Використовуючи табличне значення інтегральної функції Лапласа, отримаємо

P(170<X<180) = 2∙0.2967 = 0,5934.

Імовірність того, що зріст одного викликаного студента не належить проміжку (170,180) буде

p=1- P(170<X<180) = 1 - 0,5934 = 0,4066.

Застосовуючи теорему множення імовірностей незалежних подій, знайдемо імовірність події А

P(‾A) = (0,4066)²= 0,0111.

Отже, імовірність шуканої події А буде

P(A) = 1 - P(‾A) = 1 – 0,0111 = 0.9899 ≈ 0,99.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Показниковий розподіл.	\|	Правило трьох сигм.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.