Лекція №18. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння в повних диференціалах

1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

2. Рівняння, які зводяться до лінійних. Рівняння Бернуллі та Рікатті

3. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник

1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називаються рівняння виду:

, (1)

де і задані і неперервні на деякому проміжку функції.

Термін «лінійне рівняння» пояснюється тим, що невідома функція і її похідна входять до рівняння у першому степені, тобто лінійно.

Є кілька методів інтегрування рівняння (1). Один із них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв’язок цього рівняння шукають у вигляді добутку

, (2)

де - невідомі функції , причому одна з цих функцій довільна (але не рівна тотожно нулю).

Знаходячи похідну і підставляючи значення та в рівняння (1), дістанемо:

Користуючись довільністю у виборі функції V(x), доберемо її так, щоб

, (3)

тоді . (4)

Розв’яжемо ці рівняння. Відокремлюючи в рівняння (3) змінні та інтегруючи, знайдемо його загальний розв’язок:

Візьмемо за V який-небудь частинний розв’язок рівняння (3), наприклад

. (5)

Знаючи функцію V, з рівняння (4) знаходимо функцію U:

(6)

Підставляючи функції (5) і (6) в (2), знаходимо загальний розв’язок рівняння (1):

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
ЕВОЛЮЦІЯ ВИЩОЇ НЕРВОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ	\|	Приклад 1.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.