- Гідрологія і Гідрометрія
- Господарське право
- Економіка будівництва
- Економіка природокористування
- Економічна теорія
- Земельне право
- Історія України
- Кримінально виконавче право
- Медична радіологія
- Методи аналізу
- Міжнародне приватне право
- Міжнародний маркетинг
- Основи екології
- Предмет Політологія
- Соціальне страхування
- Технічні засоби організації дорожнього руху
- Товарознавство продовольчих товарів
Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция
Похідна від оберненої функції
| 6.1. Поняття оберненої функції і її похідна | ||||||
| Нехай y=f(x) деяка диференційована функція від аргументу x. | ||||||
| Якщо в цьому рівнянні у розглядати як аргумент, а х як функ- | ||||||
| цію, то ця функція x = ϕ( y ) , де f [ϕ( y )] = y , | називається оберне- | |||||
| ною до даної функції. | ||||||
| Наша задача, знаючи похідну y'x = | dy | , знайти x'y = | dx | . | ||
| dx | dy | |||||
| Теорема 1. Похідна функції x=ϕ( y ) , | оберненої до даної | |||||
функції y = f(x) дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю.
| Тобто, x'y= | або | dx | = | . | |||||
| y'x | dy | dy | |||||||
| dx | |||||||||
Доведення.Нехай дана функціяy = f(x)і обернена їй функціяx =ϕ( y ) .Тоді x =ϕ( y ) =ϕ[ f ( x )].
Отже, х можна розглядати як складну функцію. Диференцію-
ючи цю рівність по х , і враховуючи , що x' = dx = 1, застосовуючи dx
попередню теорему про диференціювання складної функції, маємо
| 1 = | dϕ | df | = | dx | dy | = x'y y'x .Звідси x'y = | або | dx | = | . | |||||||
| df dx | |||||||||||||||||
| dy dx | y'x | dy | dy | ||||||||||||||
| dx | |||||||||||||||||
Теорема доведена.
6.2.Похідні від обернених тригонометричних функцій Наслідок 1.Справедливі формули:
| (arcsin x )' = | ; (arccos x )′ = − | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Доведення. | 1 − x2 | 1 − x2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Якщо | y = arcsin x ,то обернена до неї | x = sin y , | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| −π< y <π . Оскільки | y'x = | , а x'y | = cos y , то | y' = | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x'y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| cos y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Виразимо cos y через х. Маємо sin y = x. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Тодіcos y = | 1 − sin2 y = | 1 − x2 . Перед коренем беремо знак | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| “+”,тому щоcos yдля всіхy∈ −π,πдодатний.Отже, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| y' = (arcsin x )' = | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 − x2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Аналогічно доводиться | (arccos x )' =− | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Наслідок 2.Похідні функцій | 1 − x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| y = arctg x, | y = arcctgx | знахо- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| дяться за формулами: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ( arctgx )' = | ; ( arcctgx )′ = − | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 + x2 | 1 + x2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Доведення. | Оберненою | до | функції y = arctgx | є | функція | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x = tgy , | −π< y <π. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Оскільки y' | = | , | x′ | = | , то y' = | = cos2 y. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | y | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x y | cos | y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| cos2 y | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Виразимо cos2y | через х. Маємо tg y = x. З шкільного курсу | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| відомо 1 + tg2y = | . Тому | = 1 + x2 , | cos2 y = | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| cos2 y | cos2 y | + x2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Отже, y′ = ( arctgx )' = | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 + x2 |
| Аналогічно доводиться ( arcctgx )' = − | . | |||
| 1 + x 2 | ||||
| §7. Диференціювання функцій, заданих | ||||
| неявно та параметрично | ||||
| Нехай функція y від аргумента x задана неявно рівністю | ||||
| F ( x , y ) = 0. Для знаходження похідної по x треба продифе- | ||||
| ренціювати тотожністьF ( x , y( x )) ≡ 0 , використовуючи | правило | |||
| диференціювання складної функції і враховуючи, що y | залежить |
від x . Після цього розв’язати рівняння, яке одержали відносно y′ . Приклад.Знайтиy′,якщоx2+y2=R2 .Розв’язування.Продиференціюємо задане рівняння поx.
2 x + 2 y ⋅ y′= 0 , 2 y ⋅ y′=−2 x , y′=− x . y
Функція y від x може бути заданою параметрично у вигляді
системи рівнянь x = ϕ( t ) де параметр
: y =ψ( t ) , t - .
Якщо t змінюється, то x і y також змінюються і точка ( x , y )на площині опише деяку лінію,яка є графіком даної залеж-
| ності | y | від | x. Якщо ця система рівнянь задає функцію | y від x і | ||||||||||||||||||||
| при | цьому | функції | ϕ( t ) | і | ψ( t ) | диференційовані, | причому | |||||||||||||||||
| ′( t ) | 0 , | y′. | ||||||||||||||||||||||
| ϕ | ≠ | то знайдемо | x | |||||||||||||||||||||
| Надамо t приросту | t ,тоді | x та | y одержать прирости від- | |||||||||||||||||||||
| повідно | x =ϕ( t + | t ) −ϕ( t ), | y =ψ( t + | t ) −ψ( t ) , | причому при | |||||||||||||||||||
| t → 0 , | x → 0 і | y → 0 ,тому що задані функції неперервні. | ||||||||||||||||||||||
| y | y | |||||||||||||||||||||||
| y | lim | y′( t ) | ||||||||||||||||||||||
| , | y′ | lim | lim | t | t →0 | t | . | |||||||||||||||||
| x | = | x | = | x = | ϕ′( t ) | |||||||||||||||||||
| Отже | x = | x →0 | t | →0 | ||||||||||||||||||||
| lim | ||||||||||||||||||||||||
| y′t | t | t →0 | t | |||||||||||||||||||||
| Тобто, y′ x = | . | |||||||||||||||||||||||
| xt |
Приклад.Знайти похідну функціїyзаданої параметрично
| x = a cos t | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| . | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| y = b sin t | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Розв’язування.Знаходимо x′ | і y′ : | x′ | =−a sin t , y′= bcos t . | ||||||||||||||||||||||||||||||
| t | t | t | t | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Тоді | y′ | = − | bcos t | = − | b | ctgt . | |||||||||||||||||||||||||||
| x | a sin t | a | |||||||||||||||||||||||||||||||
| §8. Похідні деяких елементарних функцій | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8.1. Похідна логарифмічної функції | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Нехай | y = loga x | ( a > 0 , a ≠ 1 ) .Знайдемо її похідну,корис- | |||||||||||||||||||||||||||||||
| туючись означенням. Надамо аргументу х приріст | x ≠ 0 такий,що | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| x + | x > 0. Знаходимо приріст функції | y : | |||||||||||||||||||||||||||||||
| y = loga ( x + | x ) − loga x = loga ( | x + | x | ) = loga ( 1 + x ) . | |||||||||||||||||||||||||||||
| Складемо відношення приростів | x | x | |||||||||||||||||||||||||||||||
| y | = | loga ( 1 + | x ) . | ||||||||||||||||||||||||||||||
| x | x | x | x →0,ввівши | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Обчислюємо границю цього відношення при | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| заміну | x = α . | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| x | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| y' = lim | y | = lim | log a ( 1 + | x ) = lim | log a ( 1 +α ) = | ||||||||||||||||||||||||||||
| x | x | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| x → 0 | x → 0 | x | α → 0 x α | ||||||||||||||||||||||||||||||
| lim ( 1 +α ) | = | log a e = | |||||||||||||||||||||||||||||||
| = | log a | α | . | ||||||||||||||||||||||||||||||
| x | x ln a | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| α → 0 | x |
При цьому ми використали неперервність логарифмічної фун-кції і другу визначну границю.
При а=е маємо (ln x )' = 1.x
Читайте також:
- Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
- Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
- Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
- Аналіз коефіцієнтів цільової функції
- АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
- АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
- Асимптоти графіка функції
- Асимптоти графіка функції
- Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
- Базові функції, логічні функції
- Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
- Банківська система та її основні функції
| <== попередня сторінка | | | наступна сторінка ==> |
| Похідна від складної функції | | | Похідна від показникової функції |
|
Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google: |
© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове. |