Похідна від складної функції

Нехай у є функція від аргументу u, тобто y = f(u), і нехай ар-гумент u є деяка функція від незалежної змінної x: u = ϕ( x ).Тоді y

є функція від x: y = f [ϕ( x )]. В таких випадках говорять, що у є фу-

нкція від функції або складною функцією від аргументу x.

Нехай ми вміємо обчислювати похідну від у по аргументу и, а також похідну від аргументу и по незалежній змінній х. Встанови-мо, як обчислюється похідна від у по незалежній змінній х.

ТЕОРЕМА. Якщо функції y=f ( u ) і u=ϕ( x ) мають похідні, то похідна складної функції y=f[ϕ( x )]дорівнює похі-

дній від функції у по проміжному аргументу и, помноженій на похідну від проміжного аргументу и по незалежній змінній х.

, y′ = f ′u′.

Тобто x u x

Доведення.Надамоxдовільний малий прирістx.Тодіфункція u=φ(x) дістане приріст u, а функція y = f(u) дістане при-

ріст y ,викликаний приростом u .Оскільки похідна y′ = f ′ за

u u

умовою існує , то lim y = f ′.

u→0 u u

Звідки y = f ′+α , деα → 0 разом з u → 0 .

u u

y f ′ u.

А тому = u + α Розділивши обидві частини рівності

u

на x , маємо y = ( f ′ + α ) u _. Перейдемо до границі при

u u x

x → 0 і,врахувавши,що u → 0 внаслідок неперервності функ-

ції u , що зумовлює і α → 0 , одержимо

lim y = lim ( f ′+α ) lim ^u або y′ = f ′ u′,

x→0 x x→0 u x→0 x x u x

що доводить теорему.

Зауваження.В даній теоремі розглянуто складну функцію,деyзалежить від x через проміжну змінну u. Можлива і більш складна за-лежність з двома, трьома і більшим числом проміжних змінних. При цьому правило диференціювання залишається тим же.

Так, наприклад, якщо y=f(u), де u=φ(t), а t=ψ(x), то y′( x ) = f ′( u ) ⋅ ϕ′( t ) ⋅ ψ′( x ) .

Приклад 1.Знайти похідну функціїy = sin³ x.Розв’язування.Покладаємоu = sin x , тодіy = u³.

Звідси u′ = cos x , y′ = 3u² . , y′ = 3 sin² x cos x .

x u Отже x

При певному досвіді проміжний аргумент не пишуть, а вико-ристовують його неявно.

Приклад 2.Знайтиy′,якщоy = tg (x²+4).Розв’язування. Пам’ятаючи,щоu = x²+4,знаходимо

y' = ( x² + 4 )' = 2 x .

cos 2 _{( x}2 + 4 ) cos² ( x² + 4 )

Приклад 3.Знайти похідну функціїy = cos² ( 3 x + 2 ) .

Розв’язування.Цю функцію можна розглядати як складну здвома проміжними змінними

y = u² , де u = cos t , t = 3 x + 2.

y′= 2 cos( 3 x + 2 )(cos( 3 x + 2 ))′= 2 cos( 3 x + 2 )( − sin( 3 x + 2 ))×

× ( 3 x + 2 )′=−2 cos( 3 x + 2 ) sin( 3 x + 2 ) ⋅ 3 =−3 sin 2( 3 x + 2 ).

Читайте також:
Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
Аналіз коефіцієнтів цільової функції
Аналіз складної вольової дії
АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
Асимптоти графіка функції
Асимптоти графіка функції
Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
Базові функції, логічні функції
Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.

Переглядів: 1743

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Ренційовною в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних. | Похідна від оберненої функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.