• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Завдання

Самостійна робота № 7

Тема: Розв’язування задач з теми «Поняттявипадкової величини та функції розподілу».

Мета: Закріпити набуті знання та навички, перевірити їх при виконанні практичних завдань.

Завдання

1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;

2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 7);

3. Виконати письмово приведені завдання;

4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;

5. Зробіть висновки.

Рекомендована література:

1. Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – К: Центр учбової літератури, 2010р.

2. Кочетков Е.С. Теорія ймовірностей і математична статистика – М: Форум, 2011р

Поняттявипадкової величини та функції розподілу

Випадковою величиною ( ВВ.) називається величина, яка внаслідок випробування приймає те або інакше невідоме зазделегідь значення.

Функцією розподілу випадкової величини Х називається функція F(х), яка при кожному своєму аргументі х чисельно дорівнює ймовірності того, що випадкова величина Х виявиться менше за значенням аргументу х:

F(x)=P{X<x}

За допомогою табличного запису закону розподілу можна визначити функцію розподілу F(x) випадкової величини Х за формулою F(x)=P{X<x}=

Властивості функції розподілу:

1) F(x) – неспадна функція, тобто якщо x₁>x₂, то F(x₁)≥F(x₂);

2) F(-∞)=0, F(+∞)=1, тобто 0 ≤F(х) ≤1.

3) Р{а < X < b} = F(b) - F(а).

Аналітичний запис функції розподілу :

Для дискретних випадкових величин F(x) – розривна ступенчата функція, неперервна ліворуч.

Дискретні випадкові величини

Випадкова величина X називається дискретною (ДВВ), якщо:

w сукупність її можливих значень вдається перерахувати - х_1, х₂, .. х_n (або х_1, х₂, .. х_n …..), тобто її значення належать лічильній множині - скінченній або нескінченній;

w можна знайти відповідні ймовірності р_k = Р{Х = х_k} того, що випадкова величина X приймає ці значення .

Закон розподілу - це вичерпна характеристика випадкової величини, зв'язок між можливими значеннями випадкової величини (або конкретними діапазонами значень) і відповідними ймовірностями.

Найбільш простою формою задання закону розподілу ДВВ є ряд розподілу – таблиця: у першому рядку перераховують всі можливі значення випадкової величини в порядку зростання, а у другому - відповідні імовірності:

Оскільки події {X = х_k}, {X = х₂},... несумісні й утворять повну групу подій, то

- умова нормування.

Приклад 1У грошовій лотереї розігрується 2 виграші по 1000 грн, 10 виграшів по 100 грн і 100 виграшів по 10 грн за загальної кількості білетів 10000. Визначити закон розподілу випадкової величини Х - виграшу власника одного лотерейного білета.

Розв язання. Можливими значеннями дискретної випадкової величини Х є числа х₁=1000, х₂=100, х₃=10, х₄=0. Відповідні їхні ймовірності обчислюємо за формулою:

p_k= n_k/n, де n_k - кількість виграшних білетів на відповідну суму гривень, n - кількість всіх білетів лотереї. Одержимо:

.

Закон розподілу випадкової величини Х запишемо у вигляді таблиці:

Приклад 2Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу, що визначається табоицею. Знайти функцію розподілу випадкової величини Х.

Розв язання. Якщо x ≤ −2, то F(x) = P{X < -2} = 0, бо подія {X < -2} неможлива.

Якщо −2 < x ≤1, то F(x) = P{X < 1} = 0,2, бо подія {X < 1} рівносильна події {X = −2}, яка має ймовірність 0,2.

Якщо 1< x ≤ 4, то F(x) = P{X ≤ 4} = 0,2 + 0,1= 0,3, бо подія {X ≤ 4} є сумою двох несумісних подій: {X = −2}, яка має ймовірність 0,2, і {X =1}, яка має ймовірність 0,1.

Якщо 4 < x ≤ 6, то F(x) = P{X ≤ 6} = 0,2 + 0,1+ 0,3 = 0,6, бо подія {X ≤ 6} є сумою трьох несумісних подій: {X = −2}, яка має ймовірність 0,2, {X =1}, яка має ймовірність 0,1 і {X = 4}, яка має ймовірність 0,3.

Якщо x > 6, то F(x) = P{X > 6} =1, бо подія {X > 6} є вірогідною.

Отже, функція розподілу заданої дискретної випадкової величини має такий аналітичний та графічний вигляд:

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини має „східчастий" характер.

Основні закони розподілу дискретних випадкових величин

Біномний закон розподілу. Нехай проводиться n незалежних випробувань за схемою Бернуллі і р = Р(А) - імовірність появи події А в кожному окремому випробуванні. Сформулюємо задачу: написати закон розподілу дискретної випадкової величини Х - кількості появ події А в цих n випробуваннях.

Випадкова величина Х може набути значень: x₀=0; x₁=1; x₂=2;…x_n=n.

Імовірності можливих значень х_k випадкової величини Х обчислимо за біномною формулою: Одержимо закон розподілу описаної випадкової величиниХ, який називається біномним:

Х=хk				……	n
p=pk				……

Приклад 3.Прилад складається з чотирьох елементів і ймовірність наявності технічних неполадок у кожному з них становить 0,5. Написати закон розподілу випадкової величини Х - кількості елементів приладу, в яких наявні технічні неполадки.

Розв язання. Можливими значеннями дискретної випадкової величини Х є числа х₀=0, х₁=1, х₂=2, х₃=3, х₄=4. За біномною формулою обчислимо відповідні ймовірності цих значень, знаючи, що p=q=0,5:

Зробимо перевірку

Одержимо закон розподілу описаної випадкової величини Х, який називається біномним:

Х=хk					4
p=pk

З таблиці видно, що найімовірніша кількість елементів приладу, в яких є технічні неполадки, к₀ = 2.

РозподілПуассона. Розподіл імовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває значень x_k : 0, 1, 2, …, n, ...

з імовірностями

називається законом розподілу Пуассона, що залежить від параметра l, (l >0).

Розподіл Пуассона записують у формі таблиці:

Х=хk				…..	n	…..
p=pk				…..		…..

Приклад 4. Електронна пошта банку підтримує зв'язки із сотнею абонентів. Імовірність того, що за одиницю часу на електронну пошту надійде повідомлення від абонента, становить 0,02. Написати закон розподілу випадкової величини Х - кількості повідомлень від абонентів за одиницю часу.

Розв 'язання. У даному випадку проводиться n=100 випробувань за схемою Бернуллі, і випадкова величина Х може набувати значень х₀=0, х₁=1, х₂=2, х₃=3, х₄=4, …, х₁₀₀=100. Імовірність події А - надходження повідомлення від одного абонента є мала (p=0,02), а число п=100 - велике і Х = 100 • 0,02 = 2, тому відповідні ймовірності обчислюємо за формулою:

……..

Закон розподілу описаної в задачі випадкової величини Х записуємо у формі таблиці:

З таблиці видно, що найімовірніша кількість повідомлень від абонентів за одиницю часу – одне або два.

Неперервні випадкові величини

Випадкова величина X називається неперервної (НВВ), якщо:

1) множина її значень співпадає з проміжком (кількома проміжками) числової осі, множина може бути обмеженою або необмеженою;

2) ймовірність того, що випадкова величина набуває будь-якого заздалегідь заданого значення х_s , дорівнює нулю.

Зауважимо, що хоча Р{х = х_г} = 0, подія X = х_г є можливою.

Закон розподілу неперервної випадкової величини може бути заданий у вигляді інтегральної функції розподілу F(x)=P{X<x}) або щільності розподілу (щільності ймовірності) f(x).

При числі діапазонів n→∞ дискретна функція розподілу перетворюється в неперервну інтегральну функцію розподілу F(х), зберігаючи всі її властивості.

Функція щільності розподілу ймовірності f(х) являє собою відношення ймовірності влучення неперервної випадкової величини в малий діапазон [х,х+Δх), до довжини цього діапазону Δх: .

Щільність розподілу ймовірності є першою похідною від інтегральної функції розподілу: .

Властивості щільності розподілу: 1) f(х)> 0; 2)

Якщо випадкова величина задана щільністю розподілу, то функцію розподілу можна знайти за формулою

Згідно цього

Приклад 5. Неперервна випадкова величина задана щільністю розподілу . Знайти значення постійної с, інтегральну функцію розподілу F(x), побудувати графіки функцій f(x), F(x).

Розв’язання. Функція f(х) – кусочно-неперервна, її графік - Значення постійної с знаходиться за допомогою властивості щільності розподілу Оскільки f(х) – кусочно-неперервна, то розглядається сума інтегралів на проміжках неперервності:

Отримаємо рівняння , з якого с=2.

Щільність розподілу набуде вигляду:

.

Функція f(х) – кусочно-неперервна, її графік – відрізок прямої (рис.3)

Інтегральну функцію розподілу визначаємо за формулою

При х≤0 ; При 0<х≤1

При х>1

Остаточно отримаємо:

Графік F(x) – рис.4

Закони розподілунеперервних випадкових величин

Рівномірний закон розподілу

Нормальнийзаконрозподілу

Неперервна випадкова величина розподілена за нормальним законом, якщо її щільність розподілу має вигляд: , де σ і m – параметри розпожілу: m – середнє значення, σ – середнє квадратичне відхилення ВВ.

Інтегральна функція розподілу випадкової величини визначається виразом:

.

Графіки щільності розподілу і інтегральної функції для випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, має вигляд, наведений на рисунку.

Приклад8. Середний час обслуговування ПК t = 2г. Середнє квадратичне відхилення часу обслуговування дорівнює σ_х = 0,403г. Визначити ймовірність завершення обслуговування ПК у термін часу від 1,5 до 2,5 г.

Розв'язання. Так як m = 2, σ = 0,403, а = 1,5 b = 2,5, то

; ; Ф(х₁) = -0,3925; Ф(х₂) = 0,3925;

Р(1,5≤Х≤2,5)= Ф(х₂)- Ф(х₁) = 0,3925

Для самостійної роботи:

Читайте також:

1. I. Постановка завдання статистичного дослідження
2. I. ПРЕДМЕТ, МЕТА ТА ЗАВДАННЯ ДИСЦИПЛІНИ
3. II. Завдання
4. II. Завдання на проект.
5. II. Перевірка домашнього завдання.
6. II. Перевірка домашнього завдання.
7. II. Перевірка домашнього завдання.
8. II. Перевірка домашнього завдання.
9. II. Перевірка домашнього завдання.
10. II. Перевірка домашнього завдання.
11. II. Перевірка домашнього завдання.
12. II. Перевірка домашнього завдання.

Переглядів: 730