Однобічні границі монотонної функції

Однобічні границі функції однієї зміної

Критерій існування границі функції

Границя функції і арифметичні операції

План

Лекція 4. Границя функції однієї змінної

1. Визначення границі функції за Коші і за Гєйне. Геометричний зміст границі функції в точці

Нехай функція визначена на інтервалі із значеннями в :

Точка .

Визначення 1 (границі функції за Коші). Кажуть, что число є границею функції в точці (чи коли ) і позначають:

, (1)

якщо для таке, що для виконується нерівність:

. (3)

Якщо функція має границю в точці , кажуть, що функція є збіжною в точці чи прямує до , коли . Це можна позначати не тільки в вигляді (1), а і наступним чином:

Геометричний зміст границі функції полягає у наступному. Якщо в нерівності (3) усунути модуль, вона бути мати вигляд:

, (4)

з якого видно, що визначає довільний окіл : , в якому знаходяться всі значення функції , для яких (нерівність (2)), тобто . Інакше кажучи, число є границею функції , коли , якщо для будь-якого -околу числа знайдеться такий -окіл точки , що для будь-якого аргументу функції з цього -околу відповідні значення функції опиняються в -околі (чи в -коридорі) числа (рис.1).

Для поведінки функції в точці можливі два варіанти:

· Значення може співпадати з значенням границі (рис.2);

· функція в точці може бути взагалі не визначеною (рис.3); чи значення не співпадає з значенням границі (саме такий випадок зображено на рис.1).

Рис.1.

Рис.2.

Рис. 3.

Таким чином, для існування границі функції в точці не важлива поведінка функції в самій точці (про це свідчить ліва частина нерівності (2): , яка означає, що розглядаються такі аргументи функції , для яких ). Функція взагалі там може бути невизначеною, а границя буде існувати.

Приклад. Нехай (рис.4). Показати, що для : . Для того, щоб розв’язати поставлену задачу, треба показати, що для (треба отримати формулу, яка виражає через ) таке, що для виконується нерівність:

. (5)

Інакше кажучи, нам треба з нерівності (5) отримати нерівність для оцінки . Для цього розглянемо (5) детально:

. (6)

Якщо ліва частина (6) буде меньшою за , тобто як тільки , то нерівність (5) буде виконуватись автоматично:

Таким чином зрозуміло, що якщо в якості взяти просто , тобто , то для аргументів функції з такого -околу точки буде виконуватися (5). Оскільки - довільне, то задача розв’язана.

Приклад. Нехай . Показати, що .

У цьому випадку . Для того, щоб розв’язати поставлену задачу, треба показати, що для (треба отримати формулу, яка виражає через ) таке, що для виконується нерівність:

. (7)

Інакше кажучи, нерівність (7) треба розв’язати відносно , отримати для оцінку зверху:

. (8)

З (8) витікає, що якщо , тобто , то і (7) буде виконуватися, що й треба було показати.

Визначення 2. Число не є границею функції коли , якщо таке, що для виконується нерівність:

Завдання. З’ясувати, в чому полягає геометричний зміст того, що .

Завдання. Показати, що для функції в точці границі не існує.

Визначення 3 (границі функції за Гєйне). Кажуть, что число є границею функції в точці , якщо для будь-якої послідовності аргументів , для якої виконуються умови:

1) для ;

відповідна послідовність значень функції є збіжною і .

Теорема 1. Визначення 1 і 3 границі функції еквівалентні, тобто якщо за Коші, то і за Гєйне, і навпаки. (без доказу).

Теорема 2. Якщо границя функції в точці існує, то вона єдина. (без доказу).

Наслідок. Нехай для функції побудовані дві послідовності аргументів: і , для яких виконуються умови визначення 3, тобто для , і , . При цьому відповідні послідовності значень функції і такі, що , а , до того . Тоді функція не має границі в точці .

Завдання. Користуючись наслідком з попередньої теореми, довести, що не має границі в точці .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Висновок.	\|	Однобічні границі функції однієї зміної

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.