Раціональні дроби(означення).Прості раціональні дроби та їх інтегрування.

Раціональним дробом наз. ф-ція R(x) представлена у вигляді Pm(x)/Qn(x), де Pm(x) і Qn(x) - многочлени з дійсними коефіцієнтами.

Раціональний дріб наз.правильним, якщо m<n,тобто степінь чисельника менша степені знаменника неправильний, якщо m=>n.

Найпростішими дробами є дроби виду: І.М/x-a; II.M/(x-a)^r,де к>1; III/ Mx+N/(x²+px+q), p²/4-q<(D<0); IV. Mx+N/(x²+px+q)^k, (k=>2) (D<0).

Інтегруючи найпростіші дроби одержимо:

І: ∫ M/(x-a)dx = M∫dx/(x-a)={x-a; dx=dt}=M∫dt/t =M ln(t) +C = M ln (x-a) +C;

II: ∫M/(x-a)^kdx=M∫dx/(x-a)^k={x-a=t;dx=dt}=M∫dt/t^k=M∫t^-kdt=Mt^-k+1/-k+1+c=M/-(k-1)(k-a)^k-1+c

III: ∫Mx+n/a²+bx+c dx=∫(M/2a(2ax+b)+N-Mb/2a)/ax²+bx+c dx=M/2a∫2ax+b/ax²+bx+c dx+(N-Mb/2a) ∫dx/ ax²+bx+c=M/2a lnI ax²+bx+c I+( N- Mb/2a).

Розклад правильного раціонального дробу на прості(схема інтегрування найпростіших дробів)

Для інтегрування рац. дробів де Pm(x) Qn(x) є многочлени з дійсними коефіцієнтами виконують 3 пункти

1).у випадку , якщо дріб неправильний його представляють у вигляді алгебраїчної суми многочленів і правильного дробу

m>n R(x)=Rm(x)/Qn(x)=M(x)+P(x)/Qn(x)

2) Правильний залишковий дріб розкладають на найпростіші дроби.Для цього знаходять корені знаменника з р-ня Q(x)=0 і розкладають знаменник Q(x) на множники.При цьому можливі 3 випадки:

a)Q(x)=0 має лише прості дійсні корені x ₁не=x₂ не=x ₃не =x_n

Qn(x)=(x-x₁)(x-x₂)….(x-x_n)

А правильний залишковий дріб P(x)/Qn(x) розк. на суму найпростіших дробів 1 типу P(x)/Qn(x)=A₁/(x-x₁)+A₂(x-x₂)+……+A_n/x-x_n

б)корені знаменника дійсні, при чому деякі з них кратні

в)серед коренів знаменника є прості, кратні і комплексні (мі, що не повторюються, тобто різні)

3)Знах. інтеграли від виділеної частини і всіх найпростіших дробів методами, які розглянуто вище, а потім результати складають.

Інтеграли від ірраціональних ф-цій

Не від всякої іррац. Ф-ції інтеграл можна виразити через елементарні ф-ції.Розглянемо ті іррац. ф-ції інтеграли від яких за доп. підстановок зводяться до інтегралів від рац. ф-цій, а значить до кінця інтегруються

∫R(x,x^m^/ⁿ…….x^r^/^s)dx

Над величинами x, x^m^/ⁿ, x^r^/^sвиконується тільки рац. операції (піднесення до степеня, множення на число,додавання, віднімання і ділення).Нехай К – спільний знаменник дробів.Зробимо підстановку

x=t^kdx=kt^k^-1dt

Тоді, кожна дробова степінь х виразиться через цілий степінь t і отже підінтегральна ф-ція перетвориться на раціональну ф-цію від t, а значить до кінця буде інтегруватися.

Розглянемо інтеграл виду

∫R(x(ax+b/cx+a)^m^/ⁿ,…..(ax+b/cx+a)^r^/^s)dx

Цей інтеграл зводиться до інтегралу рац. ф-ції за доп. перестановки ax+b,cx+d=t^k,де л спільний знаменник дробів m/n і т.д.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Інтегрування ф-цій, що містять квадратний тричлена	\|	Інтегрування деяких класів тригонометричних функцій.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.