Теорема Бернуллі

Теорема Бернуллі встановлює зв'язок теорії імовірностей з її практичними застосуваннями. Вона була доведена Я. Бернуллі в кінці XVII століття, а опублікована у 1713 році.

Теорема 4. (Я. Бернуллі) Якщо у п незалежних випробуваннях імовірність р появи події А однакова і подія А з'явилася т разів, то для будь-якого додатнього числа а має місце рівність

(4.6)

тобто границя імовірності відхилення відносної частоти m/n події А від її імовірності на величину, що більше або дорівнює а, дорівнює нулеві.

Згідно означенню границі рівність (4.6) означає, що

— нескінченно мала величина

Та це означає, що подіяпрактично неможлива. Але тоді протилежна подія практично достовірна для будь-якого додатного числа а.

Наслідоктеореми Я. Бернуллі.Рівністьможе відрізнятись від практично достовірної події , а>0 на нескінченно малу величину.

Це означає, що m/n → р, тобто відносна частота (частость) W(A) = m/n події А відрізняється від імовірності р події А на нескінченно малу величину, яку практично можна не враховувати.

Зауваження 5. Формулу (4.6) можна записати з використанням інтегральної функції Лапласа Ф(х) у вигляді

Звідси одержуємо важливу формулу

, (4.7)

яка дозволяє розв’язувати багато задач.

Приклад 9. Імовірність появи події в кожному із 625 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що частость появи події відхиляється від імовірності за абсолютною величиною не більш ніж на 0.04.

Розв’язання. За умовою прикладу п =625,р =0.8,q = 1 - 0.8 = 0.2,ε =0.04. Треба знайти

За формулою (4.7) маємо

З таблиці значень функції Лапласа Ф(х) знаходимо Ф(2.5) = 0.4938. Отже,

2 Ф(2.5) = 2 · 0.4938 → = = 0.9876

Таким чином, шукана імовірність наближено дорівнює 0.9876.

Приклад 10.Імовірність появи події в кожному із незалежних випробувань дорівнює 0.5. Знайти число випробувань n, при якому з імовірністю 0.7698 можна чекати, що частость появи події відхиляється від її імовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0.02.

Розв’язання. За умовою задачі р = 0.5, q = 0.5, ε = 0.02,

= 0.7698.

Застосуємо формулу (4.7). Тоді згідно умови одержимо

Із таблиці значень інтегральної функції Лапласа знайдемо

Отже, шукана кількість випробувань n = 900.

Приклад 11. Відділ технічного контролю перевіряє стандартність 900 виробів. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0.9. Знайти з імовірністю 0.9544 межі інтервалу, що містить число т стандартних виробів серед перевірених.

Розв’язання. За умовою п = 900, р = 0.9, q = 0.1,

З таблиці значень інтегральної функції Лапласа знаходимо

Отже, з імовірністю 0.9544 відхилення частоти кількості стандартних виробів від імовірності 0.9 задовольняє нерівність

З останніх співвідношень випливає, що шукане число m стандартних виробів серед 900 перевірених з імовірністю 0.9544 належить інтервалу 792 ≤ m ≤ 828.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Послідовність випробувань із різними імовірностями	\|	Проста течія подій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.