Методи знаходження оцінок: метод моментів

Метод моментів полягає в наступному: будь-який момент випадкової величини Х_k (наприклад, k-й) є функція від параметра q. У свою чергу, параметр q є функція (зворотна, якщо існує) від теоретичного k-ro моменту. Підставивши в цю функцію замість невідомого теоретичного k-ro моменту його вибірковий аналог, дістанемо замість параметра q оцінку q*.

Отже, нехай X1,..., Хп вибірка об'єму п з параметричного сімейства розподілів ¦_q, де q Î Q. Нехай

причому функція h оборотна. Тоді як оцінка в* для в беремо рішення рівняння

Або (що те ж саме), спочатку вирішується рівняння (3) відносне q, а потім замість істинного моменту беремо вибірковий:

Можна сказати, що ми беремо як оцінка таке (випадкове) значення параметра q, при якому істинний момент співпадає з вибірковим.

Приклад 4Нехай Х₁,...,Х_п — вибірка об'єм п, весь X_i Î U_0,_q, де q > 0. Знайдемо оцінку метода момента (ОММ) по перший моменту:

Знайдем оцінку метода моментів (ОММ) по k-му моменту:

Перевірим властивість отриманих оцінок. Незміщеність:

2. Розглянути оцінка q_оцінкаЗаметим, що Е_qq₂^* = Е_що, тогда як q = = (по лемеі 1).

Рівність Е_qq₂^* = 0 означати би, що для с.в. x = 3Х² виконувати Е_q= , а для величина h = виконувати Е_qh² = (E_qh)².

Пригадати той єдиний випадок, коли це можливо, щоб погодитися з висновком: оцінка q₂^* = — зміщати (як, проте, и оцінка q_k^*, k > 2).

Спроможність:

1. По ЗБЧ, q₂^* = 2Х 2E_qX₁ = 2q/2 = q Þ q₁^* = 2Х — спроможний.

2. Помітити, що по ЗБЧ (або по лемме 3 — тільки для тех, хто ее доводити) при п ®¥

3. Оскільки функція безперервний для весь у > 0, то при п ®¥

Вправа.Навіщо потрібен посилання на безперервність функція ?

Тобто вся послідовність

складається з спроможних оцінок, при цьому

тільки оцінка q₁* = 2Х — незміщена.

Зауваження7 Може траплятися так, що оцінка q* Ï Q_, тоді як q Î Q. В цей випадок в якість оцінка берет найближчий к q* точка из Q, на худий кінець — з замикання Q, якщо Q не замкнутий.

Приклад 5прикладПусть X₁,..., Х_п — вибірка об'єм п, весь X_i ÎN_a_,1, де по який-то причина а ³_ 0. Шукати оцінка для а по перший момент:

Однак по умові а ³ 0, тоді як X може бути і негативний. Зрозумілий, що якщо X < 0, то в якість оцінка для позитивного парметру а більше підійти 0. Якщо же X > 0, в якість оцінка треба брати X. Разом: а* = max{0, X} — оцінка метод момент.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Крапкові оцінки. Незміщенність, спроможність оцінок	\|	Методи знаходження оцінок: метод максимальної правдоподібності

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.