• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Операція кон'юнкції предикатів.

Таблиця № 2.4. Доведення асоціативного закону операції кон’юнкції.

Таблиця № 2.3. Таблиця істинності для операції кон’юнкції.

Яку операцію над числами нагадує нам означення кон’юнкції двох висловлень задане таблицею істинності? – операцію множення чисел. Саме тому операцію кон'юнкції називають логічним множенням. Означення операції кон'юнкції двох висловлень можна поширити на три, чотири та на будь-яке скінченне число висловлень. Наприклад: кон’юнкцією висловлень а, b, с називається таке нове висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне хоча б одне з висловлень а, b і с, тобто аÙbÙс=(аÙb)Ùс. Враховуючи сказане, зазначимо, що всі твердження, які ми будемо доводити для двох висловлень щодо кон’юнкції, будуть, майже завжди, істинними для будь-якого скінченого числа висловлень.

Безпосередньо із означення кон’юнкції двох висловлень легко переконатися у справедливості таких властивостей (законів): 1) аÙ1=а; 2) аÙ0=0; 3) аÙа=а – закон ідемпотентності. Крім вказаних законів, операція кон’юнкції висловлень підкоряється комутативному (переставному) аÙв=вÙа та асоціативному (сполучному) законам (аÙв)Ùс=аÙ(вÙс), які потребують доведення. Ці закони доводять, використовуючи таблиці істинності. Покажемо це на прикладі асоціативного закону операції кон’юнкції (див. таблицю № 2.4. Для того, щоб визначити кількість стовпців, слід підрахувати кількість елементарних і складених висловлень у лівій та правій частинах формули. Отже, маємо три елементарних висловлення (а, в, с) та чотири складених висловлення (аÙв, (аÙв)Ùс, вÙс, аÙ(вÙс)), тобто всього буде сім стовпців. Кількість рядків обчислюється за формулою 2ⁿ+1, де n – це кількість елементарних висловлень. Оскільки у формулі n=3, то рядків буде 2³+1=9. Для заповнення трьох перших стовпців зазначимо, що в них слід записати всі можливі варіанти наборів значень істинності елементарних висловлень а, в, с. У другому рядку перших трьох стовпців записуємо нулі, в наступних трьох – по два нулі й одній одиниці. У 6-8 рядках перших трьох стовпців запишемо по одному нулю та по дві одиниці. І, нарешті, в останньому запишемо три одиниці. Інших варіантів наборів значень істинності немає. Для заповнення четвертого стовпця виконаємо кон’юнкцію першого і другого стовпців, а для заповнення п’ятого стовпця – кон’юнкцію третього і четвертого стовпців. Аналогічно заповнюємо шостий і сьомий стовпці.

Таким чином, щоб переконатися у справедливості асоціативного закону операції кон’юнкції, слід порівняти значення, які містяться у стовпцях, що визначають ліву й праву частині рівності (аÙb)Ùс=аÙ(bÙс). Порівнюючи значення п’ятого і сьомого стовпців, бачимо, що вони приймають однакові значення при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень, що входять до їх складу. Отже, права і ліва частина формули (аÙb)Ùс=аÙ(bÙс) набуває однакових значень істинності при всіх наборах значень істинності елементарних висловлень. Це означає, що закон справедливий. Доведення комутативного закону пропонуємо провести самостійно (див. завдання для самостійної роботи студентів).

4.2. Як відомо, для одержання висловлення із предиката необхідно замінити змінну (змінні) назвою конкретного предмета, тобто використати спосіб підстановки, або використати операцію навішуванням квантора. А чи можна над предикатами виконувати й інші операції? - так, бо їх можна перетворити у висловлення. Всі предикати також поділяються на прості або елементарні та на складені. Для того, щоб визначити операцію кон’юнкції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „х – склав всі екзамени і набрав прохідний бал” - кон'юнкцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: кон'юнкцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)ÙВ(х), який визначений на множині Х і який істинний при всіх тих хÎХ, при яких одночасно істинні обидва предикати.

При оперуванні із складенимипредикатами доводиться знаходити їх множини істинності. Знайдемо множину істинності предиката А(х)ÙВ(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через Т_А, а множину істинності предиката В(х) – через Т_В. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)ÙВ(х), тобто Т_АÙ_В, на діаграмі Ейлера-Венна заштрихуємо множину істинності предиката А(х) горизонтальними штрихами, а множину істинності предиката В(х) – вертикальними штрихами. Тоді множина істинності предиката А(х)ÙВ(х) буде зображатися тією частиною множини Х, на якій штрихи накладаються (див. діаграму № 2.4.).

Діаграма № 2.4. Множина істинності кон’юнкції предикатів Т_АÙВ = Т_АÇТ_В.

Таким чином, множина істинності предиката А(х)ÙВ(х) є перерізом множин істинності предикатів А(х) і В(х), тобто справедлива рівність Т_АÙ_В=Т_АÇТ_В. Операція кон’юнкції предикатів підкоряється тим же самим законам, що і операція кон’юнкції висловлень. Пропонуємо студентам записати відповідні закони самостійно.

5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.

Переглядів: 2135