• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

ГЕОДЕЗИЧНИХ ПОБУДОВ

|шикувань|10.1. Постановка задачі. Рівняння поправок

Нехай для визначення значень невідомих x, у, z,…, t виконані рівноточні незалежні виміри . Загальне число невідомих t, загальне число вимірів n. При цьому . Ці умови свідчать про те, що система рівнянь, що відображає процес вимірів є перевизначеною. В даному випадку невідомими можуть бути координати пунктів, висоти реперів та інші фізичні величини, значення яких необхідно визначити, а вимірюваними величинами – горизонтальні напрями, горизонтальні або вертикальні кути, довжини ліній, перевищення тощо. Природно припустити, що між невідомими x, у, z,…, t і вимірюваними величинами існує деяка залежність, яку в загальному вигляді можна представити наступним математичним співвідношенням:

де - поправки для виміряних значень L_i.

Деталізуємо співвідношення (10.1) і запишемо його у вигляді системи рівнянь поправок:

… (10.2)

Зведемо отриману систему рівнянь (10.2) до вигляду зручного для диференціювання і задоволення умови (9.3), тобто умови мінімізації поправок. Для цього введемо деякі прирости до невідомих і позначимо їх , , ,…, , і так само до поправок, які позначимо , , ,…, . Тоді справедливо записати наступну систему рівнянь:

,

,

, (10.3)

…

.

Підставимо отримані|одержувати| співвідношення (10.3) в систему рівнянь (10.2) і запишемо функцію в загальному виді:

. (10.4)

Для подальшого|дальшого| математичного аналізу отриманого|одержувати| вираження скористаємося процедурами розкладу функції в ряд|лаву| Тейлора. Нагадаємо, що формула Тейлора застосовуються для апроксимації функції многочленами, а лінеаризація рівнянь відбувається|походить| шляхом розкладання в ряд|лаву| Тейлора і відсікання всіх членів вище першого порядку|ладу|. Формула Тейлора і одна з теорем диференціального числення|обчислення| для довідки приведена в додатку|застосуванні| Г.

Припустимо, що функції (10.4) є такими, що їх можна розкласти в ряд Тейлора в границях точок , , ,…, . Оскільки прирости , , ,…, , є малими величинами, то обмежуючись лінійними членами розкладання отримаємо:

де .

Введемо позначення:

Із урахуванням обмежень і введених|запроваджувати| позначень, які обертають статистичні|поважні| члени ряду|лави| |звертають|в малі величини можна записати:

, .

Тоді систему рівнянь (10.2) з урахуванням виконаних|проробити| перетворень можна записати в лінеаризованому виді:

,

,

… (10.7)

.

Таким чином, в отриманих рівняннях невідомими є поправки для виміряних значень , і прирости поправок , , ,…, для значень параметрів , , ,…, . Тому отримана|одержувати| система параметричних рівнянь (10.7) є недовизначеною, тому що кількість невідомих більша, ніж кількість рівнянь, яка дорівнює n.

10.2. Мінімум Нормальні рівняння

На основі отриманої|одержувати| в п.п. 10.1 систем рівнянь (10.7), яка описує лінеаризовану систему поправок покажемо процедуру її нормалізації. Для цього запроваджуватимемо обмеження на число невідомих в системі рівнянь з метою зменшення розмірності вирішуваного|рішати| завдання|задачі|. Вважатимемо|гадатимемо|, що число рівнянь дорівнює n, а число невідомих дорівнює 3. Тоді система рівнянь (10.7) набере вигляду:

,

,

… (10.8)

.

Число надмірних вимірів в даному випадку дорівнює і тому система рівнянь не має єдиного рішення.

Знайдемо для цієї системи мінімум . Для цього виконаємо наступні перетворення. Спочатку зведемо в квадрат праві і ліві частини рівнянь поправок (10.8), а потім результати складемо. Результат запишемо в символах К.Ф. Гаусса

. (10.9)

Для знаходження локального екстремуму отриманої|одержувати| функції, тобто візьмемо часткові похідні за невідомими , , і прирівняємо їх до нуля|нуль-індикатора|. Отримаємо|одержуватимемо|:

Скоротимо дані вирази на спільний множник 2 і отримаємо|одержуватимемо| систему нормальних рівнянь, в якій число невідомих дорівнює числу рівнянь

(10.10)

Така система рівнянь має єдине рішення і тому її прийнято називати системою нормальних рівнянь.

У отриманій системі рівнянь коефіцієнти при невідомих, які розташовані по головній діагоналі прийнято називати квадратичними. Особливістю отриманої системи рівнянь є те, що коефіцієнти головної діагоналі завжди позитивні, а коефіцієнти при невідомих, розташовані симетрично щодо головної діагоналі, попарно рівні між собою, тобто система рівнянь (10.10) симетрична. Розв’язавши цю систему, знаходимо невідомі , , . Підставивши набутих значень невідомих в систему рівнянь (10.8) можна знайти значення поправок.

Таким чином, описана процедура перетворення системи лінеаризованих рівнянь, яка не має єдиного розв'язання в систему нормальних рівнянь що має єдине розв'язання.

Переглядів: 163