Производная линейной функции y = kx + b равна угловому коэффициенту k. Производная функции y = f(x) в любой точке равна угловому коэффициенту касательной функции в этой точке, т.е. производная характеризует скорость изменения функции. Это есть геометрическое истолкование производной (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Геометрическое истолкование производной
Производная применяется для нахождения уравнения y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x0 :
y = f¢(x0)x + b, f(x0) = f¢(x0)x0 + b, b = – f¢(x0)x0 + f(x0).
В итоге получается уравнение y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x0 :
y = f(x0) + f¢(x0)(x – x0).
@ Задача 3. Найти уравнение касательной функции f(x) = x2 в точке x0 = – 1.
Решение: Находим f(x0) = (– 1) 2 = 1, потом f¢(x) = 2x и
f¢(–1) = 2(– 1) = –2, после чего y = 1 – 2(x + 1) = – 2x – 1.