Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Механічні коливання

Якщо матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання навколо положення рівноваги вздовж осі координат ОХ, а початок координат співпадає з точкою рівноваги, то залежність координати точки від часу має вигляд

Проекції швидкості та прискорення точки на вісь ОХ дорівнюють:

де – амплітуда швидкості, – амплітуда прискорення. Звідси прискорення точки можна виразити через її зміщення як . З іншого боку, згідно з другим законом Ньютона, прискорення матеріальної точки визначається силою. Отже, у випадку гармонічних коливань можна отримати

тобто сила пропорційна зміщенню матеріальної точки від положення рівноваги і спрямована в протилежний бік. Цю залежність можна також представити як

де – орт осі ОХ. Така залежність сили від зміщення властива пружній силі. Тому сили іншої природи, які задовольняють такий ж самий вид залежності, називаються квазіпружними силами.

Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює прямолінійні гармонічні коливання, дорівнює:

Кінетична енергія матеріальної точки періодично змінюється від 0 до і при цьому здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою і амплітудою навколо середнього значення, рівного .

Потенціальна енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання внаслідок дії квазіпружної сили, дорівнює:

або

Потенціальна енергія матеріальної точки періодично змінюється від 0 до і при цьому здійснює гармонічні коливання з циклічною частотою і амплітудою навколо середнього значення, рівного . Коливання потенційної та кінетичної енергії зсунуті по фазі на , і повна енергія системи не змінюється при коливаннях:

Графіки залежностей , і від часу для випадку наведені на рис.9.3.

Приклад 1. Лінійний гармонічний осцилятор – матеріальна точка маси m, яка здійснює прямолінійні гармонічні коливання під дією пружної сили . Прикладом такої системи може бути пружинний маятник – важок маси m, який закріплений на абсолютно пружній пружині ( – коефіцієнт, що характеризує пружні властивості пружини). За відсутності будь-яких зовнішніх сил рівняння руху має вигляд:

або ,

що співпадає з рівнянням гармонічних коливань. Отже, осцилятор (пружинний маятник) здійснює гармонічні коливання з частотою і періодом , які визначаються з рівняння руху

і .

Потенціальна енергія лінійного гармонічного осцилятора

Приклад 2.Пружинний маятник при наявності сталої сили.Важок маси вертикально підвішений на пружині жорсткістю у полі Земного тяжіння (рис.9.4). У рівновазі важок висить нерухомо, а пружина деформована (розтягнута) на величину . При цьому сили, прикладені до важка, скомпенсовані, тобто сила тяжіння до Землі за модулем дорівнює пружній силі, з якою пружина діє на важок, . Якщо вивести важок з положення рівноваги (наприклад, відтягти його вертикально вниз на відстань від положення рівноваги і відпустити без поштовху), важок почне рухатись згідно з наступним рівнянням руху

Звідси отримаємо рівняння гармонічних коливань, , яке повністю співпадає з рівнянням, розглянутим у попередньому прикладі. Отже, стала сила не впливає на частоту коливань пружинного маятника, вона лише зміщує положення рівноваги (на величину ).

Приклад 3.Послідовне з’єднання пружин маятника.

Розглянемо пружинний маятник, що складається з важеля , підвішеного на двох пружинах різної жорсткості, і (рис.9.5). Як і в попередньому прикладі будемо відраховувати зміщення важеля по відношенню до його положення рівноваги. Зміщення важеля представимо як суму , де - видовження першої пружини по відношенню до її довжини, що відповідає рівноважному положенню важеля, - те ж саме для другої пружини. Приймемо до уваги, що при послідовному з’єднанні пружна сила однакова в обох пружинах, тобто . Запишемо рівняння руху

, або ,

звідки отримаємо шукане рівняння гармонічних коливань

і відповідно частоту коливань

Приклад 4.Паралельне з’єднання пружин маятника (рис.9.6).

Задача принципово подібна до попередньої. Відмінність полягає в тому, що при паралельному з’єднанні видовження пружин однакові, а сили пружності різні і обидві діють на важіль. Рівняння руху має вигляд

звідки отримаємо

Приклад 5.Фізичний маятник – тверде тіло, яке здатне коливатись під дією сили тяжіння навколо нерухомої горизонтальної осі О, яка не проходить через центр ваги тіла (рис.9.7) і має назву вісь обертання маятника. Центр ваги маятника співпадає з його центром інерції С. Точка О перетину осі гойдання маятника з вертикальною площиною, яка проходить через центр ваги маятника і перпендикулярна до осі гойдання, називається точкою підвісу маятника.

Для опису руху такого маятника зручно застосувати рівняння моментів у вигляді . За відсутності сил тертя у точці підвісу рівняння руху маятника має вигляд

де – кут повороту маятника навколо осі гойдання з положення рівноваги, ОС – відстань від центра інерції маятника до осі гойдання, – момент інерції маятника навколо цієї ж осі, – маса маятника, – прискорення вільного падіння. При малих коливаннях маятника (малих відхиленнях від положення рівноваги) і рівняння руху маятника набуде вигляду

тобто кут задовольняє диференційне рівняння гармонічних коливань. Таким чином, за відсутності тертя малі коливання фізичного маятника є гармонічними:

де – амплітуда коливання кута , а

і .

– циклічна частота і період малих коливань фізичного маятника.

Приклад 6. Математичний маятник – матеріальна точка, яка підвішена на невагомій нерозтягненій нитці і здійснює коливання у вертикальній площині під дією сили тяжіння. Математичний маятник являє собою граничний випадок фізичного маятника, уся маса якого зосереджена в центрі інерції, так що – довжина математичного маятника. Момент інерції такого маятника відносно осі гойдання . Відповідно, циклічна частота і період малих коливань математичного маятника дорівнюють:

В загальному випадку період коливань фізичного маятника залежить від його амплітуди :

Зміна величини при збільшенні до 15° не перевищує 0.5 %.

Зведеною довжиною фізичного маятника називається довжина математичного маятника, що має такий самий період коливань:

де – момент інерції фізичного маятника відносно осі, що проходить через центр інерції С маятника і паралельний його вісі гойдання. Точка О₁, що знаходиться на прямій ОС на відстані від точки підвісу маятника О, називається центром гойдання фізичного маятника. Центр гойдання та точка підвісу мають властивість взаємності: якщо маятник підвісити таким чином, щоб вісь гойдання проходила через точку О₁, то точка О буде співпадати з новим положенням центра гойдання маятника, тобто зведена довжина і період коливань фізичного маятника залишаться незмінними.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
У теорії коливань часто застосовують комплексну форму запису функцій. Застосуємо формулу Ейлера для комплексних чисел	\|	Додавання гармонічних коливань

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.