Хвильове рівняння

При розгляді багатьох фізичних задач, виходячи з фундаментальних фізичних законів шляхом математичних перетворень, отримують диференціальні рівняння, які описують розглядувані фізичні процеси. Наприклад, якщо застосувати фундаментальний фізичний закон – другий закон Ньютона – до задачі про рух маятника в однорідному полі тяжіння, можна отримати наступне диференціальне рівняння

Як було показано у попередньому розділі, рівняння такого вигляду зустрічаються у багатьох фізичних задачах і описують гармонічні коливання величини, яка у рівнянні позначена . При цьому в різних задачах в якості виступають різні фізичні величини (координата важеля, кут повороту, електричний заряд, напруженість поля, та ін.), а константа у рівнянні, хоча і набуває різних значеннь в різних задачах, але завжди має той же самий фізичний зміст – це квадрат кругової частоти власних коливань. Отже, вищенаведене рівняння є начебто візитною карткою різноманітних процесів, які ми називаємо спільною назвою “гармонічні коливання”. Розв’язками цього рівняння є такі відомі вирази, як, наприклад, та .

З рівняннями, які описують хвильові процеси, складається ситуація, аналогічна коливальним процесам. У різноманітних фізичних задачах, які розглядають різні хвильові процеси, з фізичних законів випливає одне й те саме диференціальне рівняння, яке в подальшому ми будемо називати хвильовим рівнянням. В одновимірному випадку це рівняння має вигляд

На відміну від гармонічних коливань, хвильове рівняння – це рівняння у частинних похідних. Розв’язками цього хвильового рівняння є вищерозглянуті рівняння хвилі , у тому числі рівняння гармонічних хвиль. У цьому можна впевнитись шляхом підстановки функції у хвильове рівняння. Для скорочення запису тимчасово позначимо . Приймемо до уваги, що , , і перетворимо похідні:

Підставимо отримані вирази для похідних у хвильове рівняння і отримаємо:

Таким чином, стає зрозумілим фізичний зміст константи у хвильовому рівнянні - рівняння перетворюється на тотожність за умови , де - швидкість розповсюдження хвилі.

У тривимірному випадку хвильове рівняння записують у вигляді

де оператор Лапласа у декартових координатах має вигляд

Для сферичних хвиль рівняння хвилі виглядає аналогічно, тільки оператор Лапласа повинен бути перетворений за правилами переходу до сферичної системи координат. Наприклад, хвильове рівняння для сферичних хвиль можна подати у вигляді

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Характеристики монохроматичних хвиль.	\|	Поздовжні та поперечні хвилі в пружному середовищі

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.