• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема гіпотез

Наслідком теореми множення й формули повної ймовірності є теорема гіпотез, що виражається формулою Байєса.

Поставимо наступну задачу. Є повна група несумісних гіпотез . Ймовірності цих гіпотез до досліду відомі й дорівнюють відповідно . Проведено дослід, у результаті якого спостережено появу деякої події . Потрібно визначити, як зміняться ймовірності гіпотез після проведення досліду.

В задачі, по суті, мова йде про знаходження умовної ймовірності для кожної гіпотези.

З теореми множення маємо

,

або, відкидаючи ліву частину,

,

звідки

.

Виражаючи за допомогою формули повної ймовірності, отримуємо шукану формулу Байєса, що виражає теорему гіпотез

. (14)

Теорема гіпотез грає важливу роль при розв'язанні багатьох завдань радіотехніки.

Приклад. Розглянемо цифровий канал зв'язку з завадами, по якому можуть передаватися символи 0 і 1. Відносну частоту (ймовірність) передачі символів 1 і 0 позначимо й , конкретні значення яких на практиці визначаються шляхом аналізу статистики переданих повідомлень. Ймовірність одержання одиниці на приймальній стороні позначимо ,а нуля – . Тут і далі штрих вказує на те, що розгляд стосується приймальної частини системи зв'язку.

Особливість роботи каналу зв'язку в умовах завад полягає в тому, що передані сигнали можуть спотворюватися й переходити один в іншій. Імовірність прийняти нуль при передачі одиниці позначимо , ймовірність прийняти одиницю при передачі одиниці – . Аналогічний зміст мають імовірності й . Всі вони можуть бути обчислені на основі дослідження механізму впливу завад на сигнали, що посилаються, і тому передбачаються відомими.

Необхідно визначити, в якому відсотку випадків на приймальній стороні буде прийняте правильне рішення, якщо при прийманні одиниці стверджувати, що передавалася одиниця.

Шуканий розв'язок задачі визначається шляхом обчислення умовної ймовірності того, що передавалася одиниця за умови одержання одиниці на приймальній стороні. Відповідно до теореми гіпотез отримаємо

.

Аналогічним образом обчислюються ймовірності , , .

Приклад. Диспетчер веде радіообмін із двома повітряними суднами типу й типу , що перебувають у зоні його відповідальності. За статистичним даними на кожне повідомлення від припадає в середньому три повідомлення від , звідки 0,25, 0,75. Крім того, судно третину своїх повідомлень передає в режимі амплітудної маніпуляції (АМн), а інші – у режимі частотної маніпуляції (ЧМн), звідки 1/3, 2/3; а судно в 90% випадків передає повідомлення в режимі АМн і тільки в 10% випадків – у режимі ЧМн, звідки 0,9, 0,1.

Потрібно визначити, яким повітряним судном передане повідомлення, якщо воно отримане диспетчером у режимі ЧМн.

Шукане рішення визначається шляхом обчислення відповідних умовних ймовірностей за формулою (14)

0,69, 0,31.

Важливо відзначити, що ймовірність одержання повідомлення від , яка до досліду дорівнює 0,25, після досліду (диспетчером отримане повідомлення в режимі ЧМн) набуває нового значення (у даному прикладі 0,69). Для опису таких ситуацій у теорії ймовірностей вводяться поняття апріорної (додослідної) і апостеріорної (післядослідної) ймовірностей події. Зростання ймовірності після проведення досліду в наведеному прикладі пояснюється тим, що при формуванні апостеріорної ймовірності події, наприклад для , враховуються як попередні відомості про нього (апріорна ймовірність ), так і результати спостереження, що відбивається (дослід супроводжувався появою події, що полягає в прийомі повідомлення саме в режимі ЧМн, ане іншої події).

Переглядів: 1477