• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Основні теореми диференціального числення

Теорема Ферма. Якщо диференційовна на проміжку
функція досягає найбільшого або найменшого значення у внутрішній точці цього проміжку, то похідна функції в цій точці дорівнює нулю, тобто

Припустимо, для визначеності, що набуває в точці найбільшого значення, тобто для всіх .

За означенням похідної

,

причому ця границя не залежить від того, як наближається до — справа чи зліва.

Розглянемо відношення .

Для всіх х, достатньо близьких до точки , маємо:

Перейдемо в останніх нерівностях до границі при . Дістанемо

.

Аналогічно розглядається випадок, коли функція набуває в точці найменшого значення.

Геометричний зміст теореми Ферма. Геометричний зміст похідної являє собою кутовий коефіцієнт дотичної до кривої . Звідси рівність нулю похідної геометрично озна­чає, що у відповідній точці цієї кривої дотична паралельна осі Ох.

Теорема Ролля. Якщо функція f (х): 1) неперервна на сегменті [a; b]; 2) диференційовна на інтервалі (а; b); 3) на кінцях сегмента набуває рівних між собою значень, тобто f (a) = f (b), то на інтервалі (а; b) існує хоча б одна точка , для якої

Геометричний зміст теореми Ролля.Якщо крайні ординати неперервної кривої у = f (х), яка має в кожній точці дотичну, рівні, то на цій кривій знайдеться принаймні одна точка з абсцисою , в якій дотична паралельна осі Ох (рис. 6).

Рис. 6

Теорема Лагранжа (теорема про скінченні прирости функції).

Якщо функція f (х): 1) неперервна на сегменті [a; b]; 2) диференційовна на інтервалі (а; b), то на інтервалі знайдеться хоча б одна точка , така що

(8)

Геометричний зміст теореми Лагранжа. Запишемо формулу (8) у вигляді

. (9)

З рис. 4.7 бачимо, що величина є тангенсом кута нахилу хорди, що проходить через точки А і В графіка функції
у = f (х) з абсцисами а і b.

Рис. 7

Водночас, — тангенс кута нахилу дотичної до кривої у точці С з абсцисою . Таким чином, геометричний зміст рівності (8) або рівносильної для неї рівності (9) можна визначити так: якщо для всіх точок кривої у = f (х) існує дотична, то на цій кривій знайдеться точка з абсцисою , в якій дотична паралельна хорді АВ, що сполучає точки А і В.

Теорема Коші. Якщо f (x) і дві функції: 1) неперервні на сегменті [a; b]; 2) диференційовні на інтервалі (а; b); 3) для , то на інтервалі (а; b) знайдеться хоча б одна точка , така що

Переглядів: 1050