• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Знаходження довжини дуги

Важливим геометричним застосуванням визначеного інтеграла є знаходження довжини дуги кривої лінії:

Нехай крива задана рівнянням . Знайдемо довжину дуги
(рис. 8).

Рис. 8. Дуга кривої .

Що ж таке довжина дуги? Щоб дати означення цього поняття, виберемо на дузі точки та з’єднаємо їх хордами. Довжини цих хорд позначимо відповідно . довжина ламаної, вписаної в такий спосіб, дорівнює: .

Довжиною дуги називається границя, до якої прямує довжина вписаної ламаної, коли довжина її найбільшої ланки прямує до нуля: .

Нехай та – неперервні функції при . Очевидно, . Використовуючи теорему Лагранжа маємо: де .

Отже, , а . Перейшовши до границі при одержимо: .

Якщо ж крива задана параметричними рівняннями , причому , то в останньому інтегралі слід виконати підстановку . Нехай . Одержуємо: , або остаточно

Можна довести, що для просторової кривої, заданої параметричними рівняннями , має місце аналогічна формула

(якщо та – неперервні функції).

Якщо лінія задана в полярній системі координат рівнянням , то, враховуючи формулу переходу від полярних до декартових координат , одержуємо параметричні рівняння кривої. Оскільки маємо: і .

Наприклад. Знайти довжину дуги кардіоїди .

Розв'язування. Побудуємо графік цієї кривої в полярній системі координат (рис. 7).

0 Р

Рис. 9. Кардіоїда

Враховуючи симетричність графіка відносно полярної осі, а також те, що , маємо:

.

Переглядів: 586