Границя та неперервність функцій багатьох змінних

3.1. Границя функцій багатьох змінних

Розглянемо функцію , визначену на множині . Нехай точка цього простору, і в будь-якому -околі її є хоча б одна точка , відмінна від .

Означення 12. Число називається границею функції в точці (границею при ), якщо для будь-якої послідовності точок , яка збігається до , відповідна послідовність значень функції збігається до А.

Для запису цього факту використовується символіка:

;

, або .

Нагадаємо, що через M позначаємо точку з координатами (x, y), тобто .

Сформулюємо ще одне означення границі.

Означення 13. Число A називається границею функції при , якщо для будь якого, як завгодно малого числа знайдеться таке число що для всіх точок , відмінних від точки і віддалених від точки на відстань меншу , тобто , виконується нерівність . Границя позначається так:

Означення 14. Число А називається границею функції при , якщо для будь-якого числа , можна знайти так число , що для всіх точок , які задовольняють умову , виконується нерівність . Записуємо цей факт так: