• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Теорема про перетворення функції в нуль

Для доведення наступної властивості функцій, неперервних на відрізку, потрібна одна локальна властивість неперервної функції.

ДОПОМІЖНА ТЕОРЕМА. Якщо функція неперервна в точці x₀ справа (зліва) і якщо , то знайдеться число d>0 таке, що для всіх ( ) зна-

чення функції за знаком будуть такими, як .

Доведення. Нехай для означеності f(x₀)>0 і функція неперервна в точці справа. Тоді для числа

існує число таке, що для всіх буде правильна

нерівність .

Звідси для маємо

Теорема доведена для розглядуваного випадку. Інші випадки доводяться аналогічно.

Наслідок 1. Якщо функція неперервна в точці і якщо , то знайдеться окіл точки , для всіх точок якого значення функції за знаком будуть такими ж, як .

ТЕОРЕМА 3 (Больцано-Коші). Якщо функція неперервна на відрізку і якщо значення цієї функції на кінцях цього відрізка протилежні за знаком, то існує принаймні одна точка сÎ(а,b), значення функції в якій дорівнює нулю, тобто .

Доведення. Нехай для означеності , . Оскільки функція в точці неперервна справа , а в точці x=b неперервна зліва, то за допоміжною теоремою знайдеться число таке, що для всіх і для всіх

xÎ(b-δ,b). Позначимо через множину всіх точок xÎ[a,b]в яких f(x)<0. Ця множина непорожня, оскільки . Вона обмежена зверху числом . Така множина має точну верхню межу. Позначимо її через . Ясно, що і, отже, .Доведемо рівність .

Припустимо, що . Оскільки ,то за наслідком 1 допоміжної теореми знайдеться окіл ) точки , в усіх точках якого значення функції за знаком будуть такими ж, як .

Якщо , то для всіх ),що суперечить означенню числа як верхньої грані множини всіх тих точок ,в яких .

Якщо , тоді для всіх ),що знову ж такисуперечить означенню числа як верхньої грані множини , бо за властивістю верхньої грані в проміжку міститься проміжна одна точка з множини , в якій .Припущення, що , привело до суперечності. Отже, і теорему 3 доведено.

Переглядів: 476