Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

ТЕОРЕМА 1. Послідовність може мати тільки одну границю.

Доведення. Припустимо, що і , при чому

a≠b.

Виберемо Згідно з означенням границі послідовності виконуються нерівності

для

Візьмемо тепер натуральне число , більше за N₁ і N₂ .

Отже, для n>N одночасно будуть виконуватися обидві вище написані нерівності, на основі яких одержуємо

Звідси знаходимо, що , а це неможливо, якщо Таким чином, наше припущення, що послідовність може мати різні границі, привело до протиріччя. Збіжна послідовність може мати тільки одну границю. Теорема 1 доведена.

ТЕОРЕМА 2. Нехай послідовності (x_n) і (y_n) мають відпо–відно границі a і b Тоді сума (x_n+y_n) (різниця (x_n-- y_n)) має границю, яка дорівнює , тобто

.(3.7)

ТЕОРЕМА 3. Нехай послідовності і мають відповідно границі і Тоді і їх добуток має границю, яка дорівнює , тобто

(3.8)

З теореми 3 випливають такі наслідки .

1. Сталий множник можна винести за знак границі.

Справді, нехай , а має границю. Тоді

.(3.9)

2. Якщо і -натуральне число, то

ТЕОРЕМА 4. Нехай послідовності і мають скінчені границі, які відповідно дорівнюють , причому Тоді і їх відношення

має скінчену границю, яка дорівнює , тобто

.(3.10)

ТЕОРЕМА 5. Послідовність , яка має границю, є обмежена.

ТЕОРЕМА 6. Нехай члени послідовностей , , при всіх значеннях задовольняють нерівності і . Тоді .

Доведення. Оскільки число є границею послідовності , то згідно означення границі послідовності для будь-якого існує таке число, наприклад , що для всіх виконується або , .

Аналогічно існує таке число, наприклад, , що при

, .

Тоді, взявши число більше за і і використавши умову теореми 6 та попередні нерівності, дістанемо при n³N, що рівносильно при n³N.

Остання нерівність й доводить теорему 6.

Означення. Нехай (x_n) задана послідовність і (n_k) - довільна зростаюча послідовність натуральних чисел, то послідовність називається підпослідовністю послідовності (x_n).

З означення границі послідовності випливає правильність твердження.

ТЕОРЕМА 7. Якщо послідовність має границю , то й будь-яка її послідовність має ту саму границю .

Справді, якщо число є границею послідовності , то для будь-якого числа в - окіл точки потрапляють всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера Проте, тоді в цей окіл потрапляють і всі члени послідовності як тільки А це означає, що число є границею

послідовності , тобто .

Примітка 1. Враховуючи (3.8) і (3.9), маємо таке твердження: сталий множник виноситься за знак границі, тобто

(3.11)

Примітка 2 У вищій математиці, якщо у граничному переході вигляду (3.10) одержується дія , то кажуть, що дія допустима і в результаті одержуємо нуль. Наприклад,

З другої сторони будемо вважати , якщо у граничному

переході вигляду (3.10) одержується дія , , то

результатом такого граничного переходу є відповідь нескінченість. Наприклад,

Примітка 3. Якщо при граничних переходах (3.8)-(3.10) одержуються вирази такого вигляду: то такі вирази будемо називати невизначеними.

3.4. Деякі правила розкриття невизначеностей ( )

Наприклад, нехай потрібно знайти границі :

1) 2) 3) .

Розділивши чисельник і знаменник на найвищий степінь у даних прикладах, одержуємо:

1) 2)

3) .

Далі, використовуючи основні теореми про границі, і здійснюючи граничний перехід при , одержуємо такі

відповіді: 1)

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Послідовність, яка має скінчену границю, називається збіжною, у протилежному випадку - розбіжною.	\|	Павутинна модель ринку

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.