• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Біноміальний закон розподілу

Якщо ймовірність появи події у всіх незалежних випробуваннях однакова, тоді її можна знайти за формулою Бернуллі. У цьому випадку закон розподілу дискретної випадкової величини носить назву біноміального.

Означення: Біноміальним називають розподіл ймовірностей, які визначаються за формулою Бернуллі.

, де (10.1)

Закон названо біноміальним тому, що праву частину рівності (10.1) можна розглядати як загальний член розкладу бінома Ньютона

.

Запишемо біноміальний закон у вигляді таблиці

Х			. . .		. . .	0
Р			. . .		. . .

Приклад:

Монету підкинули два рази. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи „герба”.

Рішення

Ймовірність появи „герба” при кожному киданні монети однакова і дорівнює , відповідно ймовірність випадання „числа” .

Розглянемо всі можливі значення дискретної випадкової величини .

Відповідні ймовірності знайдемо за формулою Бернуллі:

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х має вигляд

Для біноміального розподілу справедливі наступні теореми.

Теорема: Математичне сподівання числа появи події А в п незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події у кожному випробуванні

. (10.2)

Доведення

Будемо розглядати дискретну випадкову величину Х – числа появи події А в п незалежних випробуваннях. Нехай:

- число появи події у першому випробуванні;

- число появи події у другому випробуванні;

.................................................................................

- число появи події у -му випробуванні.

Тоді за теоремою додавання , а ймовірність появи події

.

Оскільки події є повторними, то .

Тоді: , що і треба було довести.

Іншими словами теорему можна сформулювати: математичне сподівання біноміального розподілу з параметрами п і р дорівнює добутку п·р.

Приклад:

Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати р=0,8. Знайти математичне сподівання загального числа влучень, якщо зроблено 5 пострілів.

Рішення

Події – влучення при кожному пострілі є незалежними і повторними, тому розподіл дискретної випадкової величини Х – числа влучень при 5 пострілах з гармати є біноміальним. Тому за формулою (10.2) знайдемо середнє число влучень

.

Теорема: Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність р появи події однакова, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і не появи події в одному випробуванні

. (10.3)

Доведення

Розглянемо дискретну випадкову величину Х – числа появи події А в п незалежних випробуваннях

, де - взаємно незалежні події.

Тоді, за властивістю дисперсії

,

де .

Для знаходження складових попередньої формули, складемо розподіли

Звідси,

Тоді,

.

Іншими словами, дисперсія біноміального розподілу з параметрами п і р дорівнює добутку .

Приклад:

Зроблено 10 незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 0,8. Знайти дисперсію випадкової величини Х – числа появи події у цих випробуваннях.

Рішення

Знайдемо ймовірність не появи події

За формулою (10.3)

Розподіл Пуассона.

Нехай виконується п незалежних випробувань, при умові, що значення п досить велике, а ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і значення р є малим ( ), тоді при заданні закону розподілу для знаходження ймовірності користуються формулою Пуассона

, де (10.4)

Тоді заданий таким чином закон розподілу носить назву розподілу Пуассона.

Переглядів: 4998