• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Сплайни.

В деяких випадках апроксимуючий поліном 3-го порядку недостатньо точно передає характеристику кривої при цьому немає необхідності використовувати поліноми вищих порядків, оскільки вони схильні до пульсацій в таких випадках краще здійснювати наближення характеристики так званою спай новою функцією, яка складається з частин поліномів. Для цього в подальшому будемо використовувати кубічні параболи, які в кожному випадку точно проходять через опорні точки

(1)

; (2)

Для обчислення існує певний алгоритм

Алгоритм обчислення сплайнових коефіцієнтів:

(3)

(4)

( )

(5)

(6)

(7)

(8)

З рівнянь 3,5,6,7,8 знаходимо відповідні коефіцієнти .

(9)

(10)

(11)

(12)

Як бачимо для обчислення коефіцієнтів необхідно мати значення других похідних, для їх знаходження скористаємося перетворенням відносно першої похідної на її внутрішніх точках. При цьому підставимо рівняння 10,11,12 у рівняння 6. В результаті отримаємо:

(13)

(14)

З погляду на те, що значення поліномів = можемо прирівняти вирази 14 і 5 а звідси 14 і 10

Домноживши на 6 отримаємо :

(15)

На основі рівняння 15 здійснюється обчислення других похідних на (N-2) внутрішніх опорних точках, якщо відомі похідні , на зовнішніх опорних точках.

Далі будемо припускати ,що викривлення на краях інтервалу прирівнюється до «0».

На основі рівняння 15 обчислюються другі похідні на опорних точках,які підставляються в Рівняння 9,10,11,12 ,

На основі чого обчислюються коефіцієнти обчислюються відповідні поліноми

Якщо

для n=2

n=2

n=3

n=4

Для обчислення підставляємо в рівняння 9,10,11,12.

Сплайнова Апроксимація.

На практиці виміряні величини через які необхідно провести криву, переважно розсіюються, в цьому випадку складно провести сплайнову функцію точно через усі опорні точки, які мають певні невизначеності , або похибку вимірювання. При цьому більш раціонально проводити згладжування , а значить замість інтерполяційного сплайна використовувати апроксимаційний сплайн.

Ідея полягає в тому, що кубічний поліном іще невідомими координатами . Так покласти через пари вимірів , щоб різниця ,була додатною і пропорційною стрибкам третьою похідною сплайнової функції в т. поліном знову обчислюється за цією попередньою формулою та що використовується при інтерполяції а коефіцієнти , обчислюються через за формулою (15). В даному випадку треба здійснити наближення використовуючи метод наближення Гауса , таким чином апроксимуюча сплайнова функція дає описувати і згладжувати розсіювані величини.

Такий підхід складно практично реалізувати за рахунок того, що необхідно здійснити великий об’єм обчислень а також потребується наявність великого об’єму пам’яті . С погляду на те на практиці використовується дещо інший підхід.

По перше для вимірювання шуканих величин використовуються прилади та пристрої вищої точності при цьому число замірів може бути менше.

По друге здійснюється усереднення кількох точок .

По третє маючи певне число точок проводиться апроксимаційний поліном третього порядку.

Для п’яти точок здійснюється пошук третього порядку і для середньої точки знаходиться значення якого відповідає поліному .

По четверте маючи кілька поліномів через отримані точки проводиться сплайновий інтерполяційний поліном .

Апроксимація періодичного сигналу рядом Фур’є.

Часто на практиці отримані дані носять періодичний характер, то їх немає можливості описувати за допомогою прямих квадратичних , або кубічних парабол , а в цьому випадку для опису використовується ряди Фур’є.

Для опису з допомогою ряду Фур’є необхідно щоб загальний час вимірювання точно відповідав . Для опису такого ми мусимо використовувати ряд Фур’є

1. Для обчислення необхідно ,щоб

2. Для обчислення необхідно

3. Число вибірок повинно бути

- частота дискретизації

- Теорема про вибірки (Котєльнікова) – за якою число вибірок повинно бути в 2 рази більше, ніж максимальна частота вхідного сигналу.

Обчислення коефіцієнтів здійснюється шляхом обчислення наближення за методом наближення Гауса.

Структура обчислень в точках часу обчислюється значення вибірок через опорні точки проводиться ряд Фур’є. Його коефіцієнти визначаються, як сума квадратів різниць

…

(1)

N- число вибірок за період

(A)

Аналогічно обчислюється коефіцієнт

(B)

Аналогічно обчислюється коефіцієнт

(C)

Підставляємо попередньо обчислені коефіцієнти в рівняння і це буде кінцевий запис. Через ортогональність функцій та коефіцієнти можна обчислити незалежно один від одного. Таким чином непотрібно розв’язувати систему рівнянь , як це проводиться при знаходженні коефіцієнтів поліному. З наведених обчислень можна зробити такі висновки, обчислені коефіцієнти дають можливість визначити ряд Фур’є.

1. Такий опис дає можливість обчислювати в кожній точці в кожен момент часу .

2. Якщо подати амплітуди в частотну область можна обчислити спектр сигналу .

3. Для постановки завдання важливе значення має знання (період основної гармоніки) Звідси час вимірювання може бути рівним s w:val="28"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>T</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="28"/><w:sz-cs w:val="28"/></w:rPr><m:t>0</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> , або кратним . Тільки за цієї умови коефіцієнти можуть бути обчислені за виразами (В) та (С).

Апроксимація експоненційними функціями.

У багатьох випадках коли є задані дані доводиться здійснювати апроксимацію експоненційними функціями . Основна проблема полягає в тому , що функція є нелінійною відносно А і В, для того щоб здійснити наближення

В такому випадку потрібно розв’язувати нелінійну систему рівнянь що є складним тому потрібно трансформувати координати і лінеризувати наведені вище рівняння. З огляду на це здійснюють наступний підхід – логарифмування координат

Для визначення коефіцієнтів А і В можна використовувати рівняння які були отримані нами при апроксимації кубічним поліномом , при розгляді прикладу коли апроксимація здійснювалася прямою лінією

Підставляємо А і В в рівняння і отримуємо кінцевий запис.

Висновок : З наведеного матеріалу можна зробити наступні висновки :

1. Застосування того чи іншого типу апроксимації залежить від похибки наближення.

2. Залежить від складності апроксимуючої функції а значить і збільшення часу на обчислення.

3. Обчислення згладжування дозволяє знайти похибку вимірювання. Коли в окремих вимірюваннях похибки є непомірно великими, то в цьому випадку не є винною згладжуючи функція, а виміряна величина. В такому разі рекомендується повторити вимірювання.

Переглядів: 947