Умови монотонності функції

Позначимо . Припустимо, що точка с - внутрішня точка D(f).

def. зростає в т

Аналогічно дається означення спадної функції в точці.

def. монотонна в точці зростає або спадає в точці .

Теорема(достатня умова монотонності функції в точці)

диференційована в т. c та , то ( ) в т. с.

Теорема 5.12(критерій нестрогої монотонності функції на інтервалі).Якщо – диференційована на , то для того, щоб функція була неспадною (незростаючою) на цьому інтервалі необхідно і достатньо, щоб похідна у всіх точках інтервалу була невід’ємною (недодатною), тобто .

Доведення.Достатність. Нехай , , а для визначеності припустимо, що . Оскільки диференційована на інтервалі то вона диференційовна на відрізку , що лежить в середині цього інтервалу, тоді неперервна на .

Отже, вимоги теореми Лагранжа здійснюються на відрізку , тому можна знайти точку таку, що .

Якщо на , а за припущенням , тоді , тобто . Таким чином , – не спадна.

Необхідність:

Дано: диф. на , не спадна.

Довести:

Пп:, тоді із теореми про достатню умову монотонності функції в точці, маємо, що в т. с спадає, що суперечить умові. ■

Теорема(достатня умова строгої монотонності функції на інтервалі)

диференційовна на та , то ( ) на .

Доведеннядублює обґрунтування достатності попередньої теореми.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Означення екстремума функції, необхідні і достатні умови існування локального екстремума.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.