• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема (ознака Абеля).

.

Теорема (ознака Діріхле).

.

Теорема (ознака Лейбніца).

.

Означення. – абсолютно збіжний – збіжний.

Означення. – умовно збіжний

Властивості:

Теорема. – абсолютно збіжний – збіжний.

Теорема. Абсолютно збіжний ряд при переставленні своїх членів не змінює суму.

Теорема (Рімана). Якщо числовий ряд збігається умовно, тоді

1) для будь-якого дійсного числа знайдеться переставлення , для якого ;

2) можна побудувати таке переставлення , що .

Теорема.

Причому .

Теорема Мертенса. Якщо один із рядів чи збігається абсолютно, а інший хоча б умовно, тоді буде збігатися ряд спеціального виду:

– збігається до добутку значень сум цих рядів, тобто .

Степеневі ряди. Теорема Абеля про область збіжності степеневого ряду. Формула Коші-Адамара для визначення радіуса збіжності. Рівномірна збіжність, диференціювання і інтегрування степеневих рядів.

Означення. Функціональний ряд вигляду:

називається степеневим рядом, а числа – коефіцієнтами степеневого ряду.

Очевидно, що кожен степеневий ряд збігається в точці х=0. Тому область збіжності степеневого ряду містить точку нуль, тобто .

Теорема (теорема Абеля). Якщо степеневий ряд збігається в точці , тоді – збігається абсолютно в точці .

Означення. Радіусом збіжності степеневого ряду називається значення величини , де – область збіжності степеневого ряду.

Означення. Інтервал називається інтервалом збіжності степеневого ряду, де – радіус збіжності степеневого ряду.

Теорема (теорема Коші-Адамара). Розглянемо степеневий ряд . Позначимо , тоді

I)	II)	III)
степеневий ряд розбігається при ,	1) даний ряд абсолютно збігається, 2) даний ряд розбігається,	степеневий ряд збігається на ,
тобто , ;	тобто – інтервал збіжності, а радіус збіжності ;	Тобто , .

Наслідок. Формула для обчислення радіуса збіжності степеневого ряду : .

Можна отримати іншу формулу за умови, що : .

Лема. Нехай – радіус збіжності степеневого ряду , тоді – рівномірно збігається на .

Теорема (теорема про інтегрування степеневих рядів). Степеневий ряд можна почленно інтегрувати на ( – радіус збіжності), крім того, радіус збіжності отриманого почленним інтегруванням степеневого ряду буде той самий, що і у вихідного ряду, тобто .

Теорема (теорема про диференціювання степеневих рядів). Степеневий ряд можна почленно диференціювати всередині інтервалу збіжності, при цьому отриманий почленним диференціюванням ряд має той самий радіус збіжності, що й вихідний ряд.

Наслідок. Степеневий ряд можна почленно диференціювати скільки завгодно разів. Всі ряди, отримані -кратним диференціюваннями, будуть мати той самий радіус збіжності, що й вихідний ряд.

Переглядів: 1519