• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Закон великих чисел.

Припустимо, що відбувається п спостережень випадкової величини. Позначимо можливі значення випадкової величини, які вона приймає в спостереженнях (сукупність результатів спостережень назвемо випадковою вибіркою), через де індекси означають номери спостережень.

Середня арифметична можливих результатів п спостережень

називатиметься середньою вибіркою.

Коли випадкова величина набуває тільки невід’ємне значення, математичне очікування, в певній мірі, характеризує її закон розподілу. Більшість величин з якими доводиться працювати в дійсності, є невід’ємними.

Виникає питання, чи можна оцінити ймовірність відхилення додатньої випадкової величини від математичного очікування.

Розглянемо приклад: Середня тривалість розмови по телефону на одній із АТС за даними ряду спостережень виявлена рівною сек. Чи можна отримати будь – яку інформацію про те, що серед розмов на цій АТС будуть мати місце розмови з тривалістю х, яка перевищує середню тривалість в k = 6 або більшість разів. Максимально можлива частота розмови з тривалістю сек і більше при середній тривалості в 100 сек мала місце в тому випадку, якщо б одні розмови були довжиною тільки 600 сек, а інші тільки - 0 сек. Тому в цьому випадку можна визначити з співвідношення:

сек,

Або в загальному випадку

Знаходимо :

або в загальному випадку:

Таким чином, максимально можлива частота розмов з тривалістю, яка в 6 разів перевищує середню тривалість рівна 1/6. це означає, що частка буде тільки рівна або менша 1/6 (але не більша)

В загальному вигляді:

Останню нерівність називають нерівністю Чебишева.

Застосуємо нерівність Чебишева до квадрату відхилення середньої вибіркової:

від її математичного очікування

Отримаємо, що

Яка б не була мала стала величина , ймовірність того, що різниця між вибірковою середньою х і її математичним очікуванням за абсолютною величиною перевищить , буде прямувати до 0 при . Дана нерівність носить назву закону великих чисел.

Розглянемо приклад застосування нерівності Чабишева.

Нехай ймовірність того, що на АТС відбулась телефонна розмова рівна р, а якщо ця телефонна розмова не відбулася, то 1-р.

Запишемо значення випадкової величини: 1 – розмова відбулася, 0 – розмова не відбулась.

Складемо закон розподілу для нашої випадкової величини:

ймовірність випадкової величини	р	1-р

Запишемо математичне очікування:

Знайдемо дисперсію, використовуючи формулу . Запишемо значення .

	1- р	0-р

Обчислюємо дисперсію:

Якщо врахувати, що ймовірність того, що розмова відбулась р=0,5; то 1-р=0,5, тоді дисперсія

Врахуємо, що при достатньо великій кількості телефонних розмов на АТС середня вибіркова запишеться як

де п – число всіх спостережень за розмовами,

m – число спостережень, де розмова відбулась.

Підставимо значення математичного очікування М(х)=р; дисперсія в нерівності Чебишева

Отримаємо

Цей вираз означає, що яка б не була мала постійна , ймовірність р того, що різниця між середньою вибірковою і ймовірністю р перевищить , робиться близькою до нуля при достатньому числі спостережень п.

Переглядів: 586