• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

ЛЕКЦІЯ 2

Державний університет телекомунікацій

Навчально-науковий інститут заочного та дистанційного навчання

ННВЦ м. Львова

ЛЕКЦІЯ 2

Класичний та операторний метод аналізу перехідних процесів

в електричних лінійних колах

Укладач Лабаз О.І.

Перехідним процесом, називають процес, який виникає в колі після комутації.

Коло характеризується початковими значеннями напруг та струмів, які визначаються вимушеними значеннями усталеного режиму. Ці величини залежать включно від вхідної дії, яка задана сталим джерелом ЕРС.

Дослідження перехідних процесів можливо двома найбільш поширеними методами, а саме класичним, який передбачає визначення шуканих величин шляхом розв‘язку математичної моделі кола за допомогою диференційних рівнянь і методом, що базується на перетворенні Лапласа й має назву операторного, в якому символ диференціювання замінюються на оператор.

Якщо в електричному колі є реактивні елементи, то при переході кола від одного стану до іншого енергія електричного або магнітного поля не може змінитися стрибкоподібно. На цьому базуються два закони комутації. Формулювання першого закону є таким: "Струм в індуктивному елементі в перший момент часу після комутації залишається таким , яким був безпосередньо перед комутацією, а потім неперервно змінюється". Записується він так:

,

якщо вважати, що комутація відбулась миттєво при t=0.

Формулювання другого закону: "Напруга на ємнісному елементі в перший момент часу після комутації залишається такою , якою була безпосередньо перед комутацією, а потім неперервно змінюється". Тобто можна записати так:

,

якщо вважати, що комутація відбулась миттєво при t=0.

Відгук кола як на вхідний сигнал, так і на початкові умови називається повним відгуком.

Математичний погляд на повний відгук, вимагає лише розв‘язку неоднорідного диференціального рівняння з точно визначеними початковими умовами. Розклад на відгук при нульовому вхідному сигналі й відгук при нульовому початковому сигналі необов‘язковий.

Фізичний погляд на повний відгук, дещо розширює розв‘язок цього питання, визначаючи повний відгук як суму відгуку при нульовому початковому стані (тільки наявність сигналу на вході) й відгуку при нульовому вхідному сигналі ( тільки через наявність початкових умов). Такий розклад є фундаментальним результатом теорії лінійних кіл і фактично теорії лінійних систем.

Повний відгук, обумовлений початковим станом U₀ і сталим струмом на вході І, який може записатись наступним чином:

u(t) = (U₀ – RI) e^–t(1/RC) + RI t 0

Для досить великого t перший член дуже малий, а другий член домінує. Саме тому перший член називається перехідним станом (процесом), а другий член сталим станом. З цього прикладу видно, що перехідний стан, обумовлений як відгуком при нульовому вхідному сигналі, так і відгуком при нульовому початковому стані, тоді як усталений стан обумовлений тільки відгуком при нульовому початковому стані. Фізично перехідний процес є результатом двох причин, а саме: початковою умовою в колі й раптовим увімкненням вхідного сигналу. Якщо параметри кола не змінюються протягом часу, перехідний процес поступово зменшується. Усталений стан є результатом тільки вхідного сигналу й має форму сигналу подібну до форми вхідного сигналу. Наприклад, якщо вхідний сигнал сталий, то й відгук при нульовому початковому стані буде також сталим; якщо вхідний сигнал буде синусоїдою, то й відгук при нульовому стані синусоїда.

Перед розрахунками процесів, що наступають після комутації визначають незалежні початкові умови. Незалежні початкові умови – це значення струму в індуктивності та напруги на ємності при t=0.

Перехідні процеси в електричному колі наступають в наслідок тих чи інших комутацій: вмикання та вимикання навантаження або джерел енергії, змін параметрів кола.

При аналізі перехідних процесів у розгалужених електричних колах виходимо з системи рівнянь, які укладаємо для контурів і вузлів у відповідності з законами Кірхгофа.

У лінійному колі маємо систему рівнянь з невідомими струмами, як функціями часу і їх похідними.

Для розв‘язання диференційного рівняння визначимо початкові умови, тому, що при різних початкових умовах процеси протікають по різному.

Початкові умови визначаємо за відомими значеннями на момент комутації струмів в індуктивностях та напруг на ємностях.

При розрахунку виходимо з системи рівнянь, які укладаємо для вузлів та контурів за законами Кірхгофа для кола після комутації (Рисунок 1).

Рисунок 1 – Схема електричного кола після комутації

В лінійному електричному колі маємо систему лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь з невідомими струмами та напругами як функціями від часу. Опір R1+R2 замінимо на R12=80+20=100 (Ом).

; ;

;

Врахувавши, що струм вітки з ємністю рівний:

Підставивши значення струму в (1.1) отримаємо:

;

( ) + + ( )= ;

( ) + + = ;

Методом підстановки зведемо систему до двох рівнянь.

;

Звівши однорідні доданки отримаємо:

+ ( )= ; + ( )+ = ;

Класичний метод розрахунку перехідного процесу передбачає розклад досліджуваних величин на складові, які прийнято називати вимушеними та вільними складовими. У даній роботі складові позначені через – вимушена складова, досліджуваного струму, – вільна складова досліджуваного струму. Будь-яка досліджувана величина, визначається, як сума цих складових при класичному методі розрахунку,

тобто [1]:

Розрахунок вільної складової напруги

Розрахунок вільних складових досліджуваних величин зводиться до розв’язку однорідних диференціальних рівнянь (1.4) та (1.5) права частина яких рівна нулеві.

+ ( )=0 ; + ( )+ =0 ;

Визначення коренів характеристичного рівняння

Перехід від системи рівнянь) до характеристичного рівняння зробимо за допомогою визначника цієї системи, прирівнявши його до нуля та розв‘язавши отримане квадратне рівняння

Визначення сталих інтегрування

Згідно з [1] вільні складові запишемо у вигляді суми експонент:

Сталі інтегрування А_1, А₂ що входять у формулу визначаються за допомогою початкових умов. Проте, враховуючи, що в ми маємо одне рівняння, які містять дві невідомі, що робить розв‘язок неможливим, скористаємось диференційним методом розв‘язку подібних рівнянь. Також виходячи з того, що вище були відомі початкові дані, то розв‘язок рівняння проводимо для моменту часу t = 0.

Переглядів: 397