Додаток 1

Число е[63]. У вищій математиці важливе значення має особливе число, що позначається символом е. Це число можна визначити як межу послідовності {a_n}, n-й член якої визначається за формулою:

, (1)

тобто

. (2)

Число е є ірраціональним числом. Можна скласти таку таблицю (значення якої округляються до 0,001):

n						…
		2,594	2,704	2,717	2,718	…

Доведемо, що послідовність (1) збіжна. Для цього доведемо, що ця послідовність (див. § 4):

1) обмежена;

2) зростаюча.

На основі формули бінома Ньютона дістаємо:

або

Чисельник кожного дробу менший за одиницю, тому що він є добутком чисел, менших 1. Отже,

. (3)

Зауважимо, що

1 × 2 = 2¹

1 × 2 × 3 > 1 × 2 × 2 = 2²

1 × 2 × 3 × 4 > 1 × 2 × 2 ×2 = 2³

............

1 × 2 × 3 ×... × n > 1 × 2 × 2 ×... × 2 = 2ⁿ^{– 1}

Якщо знаменники дробів замінити меншими, ніж вони, числами 2²,..., 2ⁿ^{– 1}, то

З нерівності (3) маємо:

Отже, ми довели, що послідовність обмежена.

Щоб довести, що послідовність буде зростаючою, достатньо довести, що a_n < a_n_{+ 1}. Маємо:

Зауважимо, що

, .

Унаслідок цього

.....................

Кожний член a_n_{+ 1} у наведеному розкладенні (починаючи з другого члена) більший, ніж відповідний член a_n; крім того, у розкладенні до a_n_{+ 1} на одного члена більше. Звідси a_n < a_n_{+ 1}.

Отже, ми довели, що послідовність {a_n} обмежена і зростаюча; тому (див. § 4) вона має межу.

Число е, розраховане до п’ятого десяткового знака, є е = 2,71828.

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Визначення дохідності облігації	\|	Розділ 6. Ціна капіталу і ризик

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.