• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Замкнені СМО

Досі розглядались розімкнені (відкриті) СМО, в яких заявки на обслуговування надходили ззовні і інтенсивність прибуття яких не залежала від стану самої СМО. Тобто ми розглядали СМО, пов'язані практично з необмеженою кількістю джерел заявок на обслуговування. Але існує багато СМО, в яких кількість джерел заявок обмежена величиною, що часто співставляється навіть з кількістю каналів обслуговування. Такі СМО носять назву замкнених СМО. Прикладами замкнених СМО можуть служити АЗС, що розташовані на території АТП і призначені для заправки саме автомобілів даного АТП. Це може бути оптова база товарів, призначених для постачання в мережу магазинів за допомогою певного числа автомобілів. Злітно-посадочна смуга аеродрому, що приймає і випускає певну кількість літаків, є також прикладом замкнених СМО.

Важливою особливістю замкнених СМО є те, що кількість заявок, які надходять в СМО (вхідний потік), залежить від стану самої СМО, тобто від кількості заявок, що знаходяться в стані обслуговування або очікування. Це обумовлено саме тим, що кількість джерел заявок, які періодично звертаються до СМО, є обмеженою і, якщо з будь-яких причин трапляється затримка в їх обслуговуванні з боку СМО, то автоматично зменшується кількість джерел заявок, які поки що не пов'язані із СМО. Саме це і викликає зменшення інтенсивності вхідного потоку заявок за рахунок збільшення кількості заявок, пов'язаних із СМО (z).

Наприклад, за заводом будівельних конструкцій закріплено п автомобілів для розвезення будівельних конструкцій на об'єкти будівництва. Ці автомобілі здійснюють човникові рейси і періодично (з циклом, рівним тривалості циклу перевезення) знову повертаються на завод для чергового завантаження. Чим більше таких автомобілів буде зайнято під завантаженням або у черзі очікування, тим менше автомобілів знаходитиметься в процесі транспортування вантажів. З цього випливає, що інтенсивність автомобілів, що надійдуть на повторне завантаження, буде зменшуватися. Зауважимо також, що замкнені СМО, як і розімкнені, можуть бути одноканальними або багатоканальними (за кількістю механізмів обслуговування), але тільки з чергою очікування і без відмов, тому що одні і ті ж заявки періодично надходять в СМО і можуть бути обслужені.

Розглянемо спочатку одноканальну замкнену СМО, в якій циркулює п заявок на обслуговування. Середня періодичність повернення однієї заявки до СМО складає t_3B, тобто інтенсивність, з якою_одна заявка надходитиме до СМО, створюючи вхідний потік, є X = 1 / t,_B. Очевидно, що сумарний вхідний потік заявок, коли СМО ще вільна, складає Х_е = пХ. Якщо одна заявка знаходиться в СМО на обслуговуванні, то кількість заявок, що створюють вхідний потік, зменшується на одну заявку, тому Х_е = Х_е-Х = (п- \)-Х, при наявності kзаявок, пов'язаних зі СМО і не приймаючих участь у створенні вхідного потоку, вхідний потік складають лише (n -k) вільних заявок, тобто А,* = (n -к)-Х. І нарешті, коли зайнято в СМО (в черзі або в обслуговуванні) (п - 1) заявок, то Х._е = X .

Граф станів одноканальної замкненої СМО представлено на рис.8.8. Стани СМО, як і завжди: S₀-CMO вільна; Si-одна заявка на обслуговуванні в СМО;...; S_n - усі п заявок знаходяться в СМО (одна на обслуговуванні та (п - 1) - у черзі очікування)

У відповідності з вищезазначеним, інтенсивність потоку завантаження, що збільшує номер стану, поступово зменшується від пХ. (коли СМО вільна) до 0 (коли усі заявки знаходяться в СМО). Інтенсивність потоку розвантаження, _що зменшує номери станів, залишається постійною, рівною ц = 1 / t_o6c, тому що обслуговує заявки завжди лише один канал.

Таким чином, кількість станів замкненої СМО є величиною обчислюваною і дорівнює (п + 1). Усі переходи з будь-якого стану до іншого існують, тому в замкненій СМО граничний (сталий) режим існує. Для отримання граничних імовірностей станів використовуємо, як завжди, загальне правило складання відповідних рівнянь:

5. Визначаємо середню кількість заявок в черзі очікування ( г ). Для цього врахуємо, що загальна середня кількість заявок в СМО ( z) складається з середньої кількості заявок, що обслуговуються ( ш) і тих, що знаходяться в черзі ( г ). Врахуємо, що

а = М[ш] = 0-Ро f \ Р₃„ = (1 - Ро),

тоді остаточно матимемо середню кількість заявок в черзі

Замкнена СМО на відміну від розімкненої характеризується також однією характеристикою ефективності - середньою втратою продуктивності п джерел заявок за рахунок втрат часу на обслуговування і чекання у черзі, коли джерела не приймають участі в безпосередній роботі. Враховуючи середню кількість заявок в СМО (z) і середню продуктивність (/) одного джерела заявки, середня втрата продуктивності замкненої СМО визначається як

Розглянемо тепер багатоканальну замкнену СМО, прийнявши наступні позначення: m - кількість каналів обслуговування; п - кількість джерел заявок, що циркулюють в СМО; So-СМО вільна; S, (i= l,m)-зайнято і каналів обслуговування; S_m+i(m+l Si < n) - і заявок в черзі. При цьому в СМО знаходяться (т+і) заявок, а вхідний потік вимог на обслуговування формується [n-(m+i)] джерелами заявок.

З урахуванням вищезазначеного граф станів прийме вигляд, зображений на рис.8.9.

оч ~ сист ^обс ^сист ' т^

2ц. Зц щі тц тц

Рис.8.9. Граф станів багатоканальної замкненої СМО

Кількість станів є величиною обчислюваною і можливі усі переходи, тому існує граничний режим. Імовірності станів граничного режиму визначаємо, як завжди, за допомогою рівнянь Колмогорова:

- стани СМО без черги:

Досі ми розглядали замкнені СМО, що мають пуассонівський вхідний і вихідний потоки заявок. При непуассонівських потоках, як доводить аналіз, зроблений в [9], вплив варіацій закону розподілу часу обслуговування на характеристики замкненої СМО значно менший порівняно з розімкненими СМО, тому можна не звертати значної уваги на закон розподілу часу обслуговування і користуватися вищезазначеними формулами для експоненціальних вхідного і вихідного потоків.

Зауважимо також, що цей вплив зменшується ще більше при зростанні коефіцієнта завантаження р.

При непуассонівських вхідних потоках заявок в [8] рекомендується
застосовувати також методи імітаційного моделювання, що будуть
розглянуті пізніше. ♦

Переглядів: 878