Функцій. Розриви функцій.

Тема 4. Неперервність функції. Властивості неперервних

Неперервна функція в точці (x=а) -якщо границя функці ї f(x ) при x ®a існує і співпадає з значенням функції в самій точці а,тобто

Наприклад: f (x) = x²при х ® 3

lim x² = 9 Þ f (3) = 9

9 x®3

0 3 x lim x²= f (3) = 9

x®3

Неперервна функція в точці (x=а) - якщо безмежно малому приросту аргументу Dх®0в точці а відповідатиме безмежно малий приріст функції Df(х) ® 0

Необхідна та достатня умови неперервності функції в точці х₀:

1.Функція повинна бути визначеною в деякому інтервалі, що містить точкух₀ (тобто в самій точці та в її околі)

2. Функція повинна мати однакові односторонні границі, тобто

3.Значення односторонніх границь повинно співпадати с значенням функції в точці х₀.

= f(x₀)

Розривна функція в точці х₀ -якщо вона визначена в скільки завгодно малому околі точки х₀, але в самій точці х₀не задовольняє хоча б одній з умов неперервності

Розрив I роду в точці х₀ (без стрибка)-якщо існують скінченні односторонні границі і вони рівні між собою = by

0 a x

Розрив I роду в точці х₀ (з стрибком) -якщо існують скінченні односторонні границі і вони не рівні між собою y

0 x₀ x

Стрибок функції в точці х₀ -різниця між правосторонньою

та лівосторонньою границями функції в точці х₀

= b - a= с

Розрив II роду в точці х₀- всі інші можливі випадки розриву функції , тобто , якщо

0 x

Зауваження до дослідження точок розриву функції:

1.Елементарна функція може мати розриви тільки в окремих точках, але не може бути розривною в усіх точках деякого інтервалу.

2.Елементарна функція може мати розрив тільки в тій точці де вона не визначена, при умові , що вона буде визначеною хоча б з однієї сторони від цієї точки.

3.Неелементарна функція може мати розриви як в точках де вона не визначена, так і в точках де вона є визначеною, зокрема, якщо функцію задано декількома різними аналітичними виразами для різних інтервалів зміни аргументу, то така функція може мати розриви в точках зміни аналітичних виразів.

Наприклад: 1). Дослідити на неперервність функцію

у точці x₀ = 2

Розв’язання.

Оскільки lim f ( x) = f (2), то f(x) – неперервна при x₀ = 2.

2). Дослідити на неперервність

Розв’язання.

Оскільки функція задана різними формулами на різних проміжках, на кожному з яких вона як елементарна є неперервною, то розрив можливий лише в точці x₀ = 0.

lim (x²+1) = 1 = f (0)