• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

рівняння І порядку.

Існують окремі типи диференціальних рівнянь, для яких задача про знаходження всіх розв'язків зводиться до обчислення скінченого числа інтегралів і похідних від відомих функцій і алгебраїчних операцій. Про диференціальні рівняння таких типів кажуть, що вони інтегруються в квадратурах (зводяться до квадратур). Проте більшість рівнянь неможливо звести до квадратур. Такі рівняння розв'язують наближеними методами. Найпростіший із них - метод ламаних Ейлера або коротше метод Ейлера. Правда точність цього методу невелика, тому на практиці користуються порівняно рідко. Але він допомагає краще зрозуміти інші, більш ефективні методи.

Нехай на якомусь відрізку [х0,b] треба знайти такий розв'язок у=у(х) диференціального рівняння

У'=f(x,y), (3)

Який задовольняє початкову умову

У(х0)=у0 (4)

Припустимо, що права частина даного рівняння (функція f(x,y) задовольняє умови теореми Коші про існування і єдність розв'язку, причому відрізок [х0,b] входить в окіл, в якому розв'язок рівняння (3)-(4) існує і єдиний. Графік цього розв'язку називається інтегральною кривою диференціального рівняння (3).

Суть методу Ейлера полягає в тому, що маючи точне чи наближене значення у(х) розв'язку диференціального рівняння (3) для якогось конкретного значення х, можна обчислити наближено і значення у(х+Dх)

розв'язку для близької точки х+Dх; для цього замість повного приросту функції у(х) на відрізку [х,х+Dх] береться наближене значення її приросту – її диференціал у'(х)*Dх:

у(х)=у(х+DDх)-у(х)»у'(х)*Dх

звідси одержуємо:

у(х+Dу(х)+у'(х)*»х)Dх (5)

Похідна у'(х) в точці х знаходиться з самого диференціального рівняння (3), яке і вказує, як знайти числове значення похідної розв'язку в точці х, коли відомий сам розв'язок в точці х:

у'(x)=f(х,у(х)) (6)

З (5) і (6) одержуємо

у(х+Dу(х)+f(х,у(х))*»х)Dх,

} (7)

у'(х+Dх)=у'(х)+f(х,у'(х))*Dх,

Так само, маючи наближене значення у(х+ х), обчислене за цією ж формулою обчислити значення

У((х+Dх)+Dх), у(х+3Dх), у(х+4Dх) і т.д.

Таким чином, маючи значення у(х0)=у0 задане початковою умовою (2), можна за формулою (7) поступово обчислювати значення

У(х0+2Dх), у(х0+3Dх) і т.д.

Нанести знайдені точки на координатну площину і сполучивши їх відрізками прямих, одержимо ламану Ейлера, яка є наближеним зображенням інтегральної кривої.

Враховуючи сказане, знаходження розв'язку диференціального рівняння (3)-(4) організуємо в такий спосіб.

Розіб'ємо відрізок [х0,b] на n рівних частин, так що довжина h=Dх кожної з них дорівнюватиме

h=b-x0/n.

Точки поділу х1 , х2 , ... , хі , ... , хn відрізка [х0,b] матимуть координати

Хі+1=хі+h , і= 0 , 1 , 2 , ... , n-1 . (8)

Позначимо через уі наближене значення у'(хі) розв'язку в точці хі:

Уі=у'(хі) (9)

Тоді, поклавши Dх =h, з рівностей (7), враховуючи (8) і (9) матимемо

У'(xi+Dx)=y'(xi+h)=y'(xi+1)=yi+1

y'(xi+Dx)=yi+1=yi+f(xi,yi)*Dx, i=0 , 1 , 2 , ... , n-1 . (10)

Маючи у0 з початкової умови (4), за формулою (10) можна обчислити у1, у2, ... ,у10:

y1=у0=f(x0,y0)*h,

y2=y1+f(x1,y1)*h,

y3=y2=f(x2,y2)*h,

· - - - - - - - - - - - - - - - - - -

yn=yn-1+f(xn-1,yn-1)*h.

Сполучаючи на координатній площині точки (х0,у0), (х1, у1), ... , (хn,yn) відрізками прямих, одержимо ламану лінію, яка називається ламаною Ейлера і є наближеним зображенням інтегральної кривої – графіка розв'язку рівняння (3) з умовою (4)(див. рисунок)

Геометрично відрізок, що сполучає точки (хі.уі) і (хі+1, уі+1) є відрізок дотичної до інтегральної кривої, що проходить через точку (хі, уі).

3. Загальний розв'язок рівняння у'=у+3 і задача Коші для рівняння з

початковою умовою: у(0)=1.

y'=у+3;

dy/dx=y+3;

dy=(y+3)dx;

dy/y+3=dx;

dx;òdy/y+3=ò

dx;òd(y+3/y+3=ò

;çc1ç=x+lnçy+3çln

;çc1ç=ln ex+lnçy+3çln

*ex;çc1ç=lnçy+3çln

*ex;çc1ç=çy+3ç

y+3=c*ex;

Звідси:

y=c*ex-3.

Це загальний розв'язок рвіняння у'=у+3.

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє умову у(0)=1:

1=с*е0-3;

1=e-3;

С=1+3=4;

y=4ex-3 -частинний розв'язок

Обчислимо значення знайденої функції у(х)=4ех-3 для значень х=0,1; 0.2; 0.3; ... ;0.9; 1 і побудуємо за цими точками графік даної функції на відрізку [0,1], а також ламану Ейлера.

Таб. 2.

Отже, наближене значеня розв'язку при х=1 є у'(х=1)=7,482 , точне значення при х=1 є у(х=1)=7,872.

Абсолютна похибка дорівнює

7,872-7,482=0,39

Відносна похибка дорівнює

0,49%»0,39/7,872=39/7872=0,0049

4.

Переглядів: 185