Характерні точки та проміжки функції

Точка називається критичною точкою І роду функції , якщо

Диференційована функція зростає на проміжку тоді і тільки тоді, коли перша похідна додатна: .

Диференційована функція спадає на проміжку тоді і тільки тоді, коли перша похідна від'ємна: .

Точка називається точкою максимуму функції , якщо існує такий окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність . Якщо похідна при переході через критичну точку змінює знак з на :

Точка називається точкою мінімуму функції , якщо існує такий окіл точки , для всіх точок якого виконується нерівність . Якщо похідна при переході через критичну точку змінює знак з на :

Точки мінімуму та максимуму називаються точками екстремуму.

Точка називається критичною точкою ІІ роду функції , якщо

Диференційована функція , називається опуклою на проміжку, якщо всі її точки (крім точки дотику) лежать нижче довільної її дотичної, друга похідна від'ємна: .

Диференційована функція , називається угнутою на проміжку, якщо всі її точки (крім точки дотику) лежать вище довільної її дотичної, друга похідна додатна: .

Точка графіку функції називається точкою перегину, якщо вона відділяє її опуклу частину від угнутої. Друга похідна при переході через критичну точку змінює знак з на або з на :

Загальна схема дослідження функції:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки перетину з осями координат.

3. Дослідити функцію на неперервність. Знайти точки розриву та односторонні границі в цих точках.

4. Знайти асимптоти графіка функції.

5. З'ясувати, чи буде функція парною, непарною, періодичною.

6. Знайти критичні точки І роду.

7. Знайти проміжки монотонності та екстремуми функції.

8. Знайти критичні точки ІІ роду.

9. Знайти проміжки опуклості та точки перегину функції.

10.Побудувати графік функції.

Геометричний зміст похідної : .

Похідна функції в фіксованій точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, яка проведена до графіка цієї функції в його точці з абсцисою під кутом (кут між дотичною та віссю Ох).