Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Г. Галілей

Геометрія – наймогутніший засіб розвитку наших розумових здібностей

Який надає спроможність вірно мислити і розмірковувати

Г. Галілей

Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії

Ø Про логічну побудову планіметрії

Ø Основні поняття геометрії

Ø Аксіоми планіметрії

Ø Опорні факти курсу планіметрії (довідник та практика)

ü Взаємне розміщення прямих на площині

ü Коло і круг

ü Многокутники

ü Трикутник та його елементи

ü Опуклі чотирикутники

Ø Задачі і методи їх розв’язування

ü Алгебраїчні методи

ü Геометричні методи

Ø Як розрізняють означувані і неозначувані поняття

Ø Які поняття вибирають за основні

Ø Як аксіоми впливають на подальшу побудову геометрії

Ø Яка роль теорем при складанні комплексної характеристики геометричної фігури

Ø Як коротко скласти відомості про вивчений курс планіметрії

Ø Які факти курсу планіметрії можуть бути опорними

Ø Як відрізнити властивість геометричної фігури від її означення

Ø Як умовно поділяють методи розв’язування геометричних задач

Ø Які теоретичні знання потрібні для розв’язування нескладних геометричних задач.

§ 1.1. Про логічну побудову планіметрії. Основні поняття. Аксіоми планіметрії.

У навколишньому світі нас оточують різні предмети, кожен з яких має багато характеристик: колір, твердість, хімічний склад, розміри, просторові форми і т. д.. Наприклад, круг, з радіусом 10 см, можна вирізати з металевого листа або з паперового аркуша. Зрозуміло, що обидва предмети мають і однакові характеристичні властивості, і різні. Щоб вивчити всі властивості того чи іншого предмету у школі вивчаються різні шкільні дисципліни. Якщо порівнювати вище названі предмети за просторовими формами та кількісними характеристиками, то ці фігури однакові – два круги, радіуса 10 см. Шкільні дисципліни, які вивчають просторові форми і кількісні характеристики предметів і явищ навколишнього середовища відносяться до математичних – алгебра і геометрія. Геометрія– це наука про просторові форми і кількісні характеристики предметів реального світу.

Інші характеристики предметів навколишнього середовища вивчають інші шкільні дисципліни. Якщо в предметі реального світу, під час вивчення, відмежуватись від його характеристик, окрім просторових форм та кількісних вимірів, то отримаємо абстрактний об’єкт, який називають геометричною фігурою.

Слово «геометрія» – грецьке, що у перекладі на українську мову означає землемірство (назва походить від вимірювань на місцевості). Геометрія, яку вивчають у школі, називається евклідовою за ім’ям давньогрецького вченого Евкліда (див. рубрику «Із літопису геометрії» до Модуля 1). Шкільна геометрія складається із двох частин: планіметрії і стереометрії. З першою частиною геометрії (відомою під назвою планіметрія) ви ознайомились в основній школі, а з другою(стереометрія) – будете знайомитись в старших класах.

Планіметрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються геометричні фігури на площині. Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі.

На рисунку 1.1 зображено різні геометричні фігури на площині.

Трикутник Коло Чотирикутник Многокутник

Рис.1.1.

Геометричні фігури – це абстрактні фігури, які виражають просторові форми і нагадують нам предмети, що нас оточують. Щоб відрізняти одну геометричну фігуру (чи поняття) від іншої, їх описують у вигляді твердження, яке називають означенням.

Означення – це твердження, які описують характеристичні властивості предмета (поняття), що дають змогу відрізнити його від інших. Як виявилось, означити всі геометричні фігури неможливо. Наприклад, точка, пряма, площина. Їх називають неозначуваними або початковими(з яких все починається), або основними, як називали їх у планіметрії.

Логічну побудову планіметрії можна описати за такими етапами.

1. Вибір геометричних понять, які називають основними поняттями (абстрактних фігур).

2. Формулювання основних властивостей для цих геометричних понять за допомогою тверджень, які вважаються істинними без доведень, як очевидні.

3. Побудова інших понять, які означуються через основні поняття та їх властивості, та інших тверджень, істинність яких встановлюється шляхом доведень, опираючись на відомі.

Така побудова науки називається аксіоматичною. Її назва походить від слова «аксіома». Це слово грецького походження, що в перекладі на українську мову означає «повага», «авторитет», «незаперечна істина». Аксіома – твердження, яке приймається без доведення. (У переносному значенні: «аксіома – це те твердження, яке внаслідок свого авторитету не викликає сумнівів»). Основні властивості найпростіших геометричних фігур, які не доводяться і є вихідними при доведенні інших властивостей називаються аксіомами геометрії.

Для шкільного курсу планіметрії визначено:

1. Основні геометричні фігури (поняття) – точка, пряма.

(Точка – найпростіша геометрична фігура. Всі інші геометричні фігури складаються з точок, у тому числі й пряма).

2. Аксіоми планіметрії – основні властивості найпростіших геометричних фігур.

3. Систему означень планіметричних фігур та теорем, що підтверджують їх властивості.

АКСІОМИ ПЛАНІМЕТРІЇ

№ п/п

Назва аксіоми

Зміст аксіоми

Наслідки з аксіом

І.

Аксіоми належності І_1.

І_2.

І₁._.Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. І₂._.Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну.

Дві різні прямі або не перетинаються, або перетинаються тільки в одній точці.

ІІ.

Аксіоми розміщення

ІІ_1.

ІІ_2.

ІІ_1. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими. ІІ_2.Пряма розбиває площину на дві півплощини.

Якщо кінці якого-небудь відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму.

ІІІ.

Аксіоми вимірювання

ІІІ_1. ІІІ_2.

ІІІ_1.Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою. ІІІ_2.Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Якщо три точки А, В і С лежать на одній прямій, то точка В лежатиме між точками А і С, якщо АС = АВ+СВ. Якщо від даної півпрямої відкласти в одній півплощині два кути, то сторона меншого кута, відмінна від даної півпрямої, проходить між сторонами більшого кута.

IV.

Аксіоми відкладання

IV_1. IV_2.

IV_3.

IV_1.На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один. IV_2.Від будь-якої півпрямої у даній півплощині можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою 180°, і тільки один. IV_3. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому у заданому розміщенні відносно даної пів прямої.

Якщо пряма, яка не проходить через жодну з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін.

Аксіома паралельності V.

V_.Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну пряму, паралельну даній.

Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинатиме й другу.

До означуваних понять у геометрії відносять поняття відрізка, променя, трикутника та інші, оскільки для них існують пояснення «що це таке?» Наприклад.

Нехай на прямій а задано дві різні точки А і В. Фігура, що складається з усіх точок прямої а, які лежать між точками А і В, включаючи точки А, В, називається відрізком (рис. 1.2). Точки А і В називаються кінцями відрізка, а всі інші точки – внутрішніми точками відрізка. Це означуване поняття називають означенням відрізка. Отже, означуваних понять багато.

•

Щоб встановити правильність твердження про властивості тієї чи іншої геометричної фігури доводиться висловлювати деякі міркування. Серед цих міркувань є такі, які потребують доведення (теореми, задачі). Твердження, істинність якого встановлюється шляхом доведення і яке використовується часто для доведення інших тверджень, називається теоремою. Теорема складається з двох частин: умови і висновку. Для доведення теорем у шкільному курсі геометрії використовують в основному такі методи (§1.3):

а) по структурі доведення – прямий (аналітичний та синтетичний), від супротивного;

б) по використанню математичного апарату – алгебраїчний, координатний, векторний і т.д..

Всі міркування при доведенні теорем довільним методом опираються на аксіоми та відомі доведені факти. Тобто під час доведення теореми дозволяється користуватися тільки основними властивостями найпростіших фігур (аксіомами), і раніше доведеними властивостями (теоремами). Ніякими іншими властивостями фігур, навіть якщо вони нам здаються очевидними, користуватися не можна. Наприклад, при доведенні теорем можна користуватися рисунком. Однак це лише геометрична модель змісту тексту, вираженого словами. Тому робити за рисунком висновки про властивості фігур не дозволяється.

Отже, геометрія, як і інші математичні науки, будується за наступною схемою: спочатку потрібно ввести основні поняття, задати аксіоми (правила гри), а пізніше, опираючись на аксіоми, виводити інші факти (проводити гру за визначеними правилами, які є несуперечними між собою).

1.1°. Виберіть за рисунком два правильні математичні твердження.

А) A a; Б) M a; В) K MP; Г) B KP; Д) C MP.

1.2°. На одній прямій позначено три точки А, В і С так, що АВ = 2,72 дм, ВС = 1,38 дм і АС = 1,34 дм. Визначте правильні твердження щодо розміщення однієї точки між двома іншими.

А) А Î ВС;

Б) В Î АС;

В) С Î АВ;

Г) С Ï АВ;

Д) В Ï АС.

1.3°. Відомо, що відрізок АМ довший за відрізок ВМ у 3 рази. Укажіть два математичні твердження, що відповідають тексту задачі.

А) АМ = 3 ВМ; В) АМ = ВМ; Д) ВМ = АМ .

Б) 3 АМ = ВМ; Г) АМ + ВМ = 4 АМ;

1.4°. Укажіть два правильні скорочені записи умови задачі: «Відрізок АМ коротший за відрізок ВМ на 2 см».

А) АМ – ВМ = 2 см; В) АМ – 2 см = ВМ; Д) АМ = ВМ + 2 см.

Б) ВМ – АМ = 2 см; Г) АМ + 2 см = ВМ ;

1.5°. Знайдіть градусну міру кута , якщо , а у 2 рази більший за (М – внутрішня точка кута ).

А) 50°; Б) 100°; В) 75°; Г) 30°; Д) 120°.

1.6°. Знайдіть довжини відрізків АМ і ВМ (М Î АВ), якщо довжина відрізка АВ дорівнює 12 см, а відрізок АМ коротший, ніж відрізок ВМ на 3 см.

А) 1,5 см і 4,5 см; В) 7,5 см і 10,5 см;

Б) 4,5 см і 7,5 см; Г) 6 см і 9 см; Д) 5 см і 7 см.

1.7°°. На одній прямій позначили 21точку так, що відстань між будь-якими двома сусідніми точками дорівнює 3 см. Знайдіть відстань між крайніми точками.

А) 63 см; Б) 60 см; В) 66 см; Г) 57 см; Д) 54 см.

1.8°°. На відрізку АВ, довжина якого 42 см, позначено точку М відповідно до умов (А – Д). Доберіть до кожної з них правильні твердження (1– 6).

А) АМ > ВМ на 2 см; 1) АМ = 18 см;

Б) АМ < ВМ на 6 см; 2) ВМ = 28 см;

В) 2АМ = ВМ; 3) АМ = 22 см;

Г) АМ : ВМ = 3 : 4; 4) ВМ = 24 см;

Д) 0,5 ВМ = АМ. 5) АМ = 14 см;

6) ВМ = 20 см;

1.9°°. Промінь ОА проходить між сторонами кута РОМ , градусна міра якого дорівнює 160°. Доберіть до кожної умови (А – Д) правильне твердження (1 – 6).

А) Ð РОА > Ð АОМ на 40°; 1) Ð АОМ = 110°;

Б) Ð РОА < Ð АОМ на 60°; 2) Ð АОР = 120°;

В) Ð АОМ = 0,6 Ð АОР; 3) Ð МОА = 60°;

Г) Ð АОР = 3 Ð АОМ; 4) Ð РОА = 100°;

Д) Ð АОМ : Ð РОА = 3 : 5. 5) Ð АОМ = 40°;

6) Ð РОА = 50°.

1.10°°. Складіть кілька правильних математичних тверджень до кожного з рисунків.

1.11°°.На промені ОХ відкладено два відрізки: ОА = 7,3 см і ОВ = 5,8 см. Визначте довжину відрізка АВ.

1.12^·. Визначте, яка з трьох точок лежить між двома іншими, якщо кожні три точки А, В, М лежать на одній прямій.

1) АМ = 3 см, АВ = 8 см, ВМ = 5 см; 4) АМ = 9 см, ВМ = 21 см, АВ = 12 см;

2) АМ = 7 см, ВМ = 12 см, АВ = 19 см; 5) АМ = 21 см, ВМ = 37 см, АВ = 16 см;

3) АМ = 27 см, ВМ = 5 см, АВ = 22 см; 6) ВМ = 18 см, АМ = 33 см, АВ = 15 см.

1.13^·. Визначте довжину відрізка КМ, якщо точка О розділяє відрізок АВ на два відрізки довжиною 18 см і 14 см, а точки К і М – середини відрізків АО і ОВ.

1.14^·. На відрізку АВ завдовжки 48 см, позначено точку О. Знайдіть довжини відрізків АО і ОВ, якщо АО : ОВ = 3 : 5.

1.15^·. Знайдіть довжину відрізка МВ, якщо точки А, В, С і М лежать на одній прямій, причому АС = 12 см, СВ= 5 см, а М – середина відрізка АС.

1.16^·. Промінь ОМ проходить між сторонами кута КОС, градусна міра якого дорівнює 153°. Знайдіть кути КОМ і МОС, якщо відомо, що ÐКОМ у 2 рази більший за ÐМОС.

1.17^·. На відрізку АВ завдовжки 75 см позначено дві точки М і К (M належить відрізку AK, K належить відрізку MB) так, що відрізок АМ на 5 см довший за відрізок МК, а відрізок KВ у 2 рази довший за відрізок АМ. Знайдіть довжини п’яти утворених відрізків.

1.18^··. Промінь, що лежить між сторонами кута розбиває його на два кути. Доведіть, що бісектриси цих кутів утворюють кут вдвічі менший від величини заданого кута.

1.19^··. Дано чотири прямі а, b, с, і d, причому кожні три з них перетинаються в одній точці. Доведіть, що всі чотири прямі проходять через одну точку.

§ 1.2. Опорні факти курсу планіметрії.

Даний параграф призначається для повторення курсу планіметрії. Потреба в ньому зумовлена тим, що багато питань курсу планіметрії, на першому етапі навчання у школі, розглядаються дещо поверхнево. І хоч у наступних класах рівень вивчення матеріалу підвищується, не завжди вдається повернутися і поглибити раніше вивчені теми. У даному пункті систематизовано та узагальнено основні відомості з планіметрії, які умовно розбиті на блоки: взаємне розміщення прямих на площині; коло і круг; многокутники; трикутник і його елементи; опуклі чотирикутники.

Порядок викладу не зовсім відповідає тому, який прийнято у шкільній програмі. Це зроблено для того, щоб найголовніші питання курсу можна було розглядати як логічно закінчені теми. Усі теореми, які, звичайно, добре відомі вам і які докладно розглядаються у підручниках, подано без доведень. Припускається, що ви, в разі потреби, самостійно здійсните ці доведення або повторите їх за підручником.

Взаємне розміщення прямих на площині.

Дві прямі на площині можуть перетинатися лише в одній точці або не перетинатися, тобто бути паралельними. При перетині двох прямих утворюються суміжні і вертикальні кути. Суміжні кути доповнюють один одного до 180°, а вертикальні – рівні. Кутова міра меншого з них називається кутом між прямими. На рис. 1.3 зображено дві прямі AD і BC, які перетинаються в точці О, утворюючи суміжні та вертикальні кути:

1) , – вертикальні;

2) , ,

– суміжні.

Якщо один з кутів при перетині двох прямих дорівнює 90°, то всі інші – суміжні та вертикальні кути, також дорівнюють 90°. Такі прямі називають взаємно перпендикулярними. Записують AD BC або .

Відстанню від точки А до прямої а (рис.1.4) називається довжина

відрізка ОА, перпендикулярного до прямої, де точка О – основа

перпендикуляра. Відстань від точки А до будь-якої точки прямої а,

відмінної від точки О, більша за відстань від точки А до прямої а.

Тобто будь-який відрізок АХ, де Х - точка прямої а, довший за відрізок ОА.

Дві різні прямі а і b, які лежать в одній площині, називаються паралельними, якщо вони не мають жодної спільної точки. Коротко записують . Якщо прямі не паралельні то вони перетинаються.

Внаслідок перетину двох прямих третьою прямою утворюється вісім кутів (рис.1.5): - Внутрішні односторонні (кути 4 і 5, 3 і 6); - Внутрішні різносторонні (кути 3 і 5, 4 і 6); - Зовнішні односторонні (кути 1 і 8, 2 і 7); - Зовнішні різносторонні (кути 1 і 7, 2 і 8); - Відповідні кути (кути 1 і 5, 2 і 6, 8 і 4, 7 і 3)

Ознаки паралельності прямих:

1) Якщо при перетині двох прямих а і b третьою прямою внутрішні (або зовнішні) різносторонні кути рівні (або внутрішні односторонні в сумі становлять 180°), то а і b паралельні.

2) Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

Теорема (про рівні відрізки, теорема Фалеса):

Якщо на одній прямій відкласти кілька рівних відрізків і через їхні кінці провести паралельні прямі, що перетинають другу пряму, то, вони відітнуть на другій прямій теж рівні відрізки. Наприклад, якщо , причому ОА=AВ, то ОА₁=А₁В₁(рис. 1.6).

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.018 сек.