• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Періодичні функції та їх властивості

Означення: Функція , задана на множині , називається періодичною, якщо існує таке число , що

1. і також належить ,

2.

Приклад 1 : не є періодичною , бо обмежена ‒ не виконується умова 1.

Приклад2 : Чи є функція періодичною. повинно виконуватись: , тобто , , якщо ‒ період, то повинна виконуватись ця рівність. Таке не існує. Наприклад , при , що суперечить умові.

Щоб встановити неперіодичність функції, досить показати, що вона не періодично повторює хоча б одну властивість (нулі, проміжки монотонності і так далі). Так, наприклад, функція не є періодичною, оскільки вона має тільки один нуль, що неможливо для періодичної функції.

Приклад: Оскільки синус і косинус визначені на усій числовій прямій і для будь-кого , синус і косинус ‒ періодичні функції з періодом .

Теорема: Якщо і є періодами функції , то їх сума також є періодом функції .

Доведення.

Нехай і ‒ періоди функції , тоді

Покажемо, що ‒ період функції

що і треба було довести.

Наслідок: Якщо функція періодична з періодом , то при будь-якому цілому число теж період цієї функції.

Якщо функція періодична, то періодів нескінченно багато. Найменший додатний період називатиме основним (головним) періодом функції.

Найменший додатний період функцій і рівний .

Найменший додатний період функцій і рівний .

Доведемо твердження для функції .

Той факт, що для функції число є періодом витікає безпосередньо із означення.

Доведемо, що цей період є найменшим додатним методом від супротивного. Припустимо, що існує таке число Т< , що є періодом функції . Це означає, що для всіх дійсних х виконується умова . Отже дана умова виконується також і для , ;

звідси ;

і . А це означає, що ‒ ціле число. Отримана суперечність свідчить про невірність припущення про існування періоду меншого за .

Теорема. Якщо періодична функція має основний період , то будь-який інший її період буде кратним, , тобто , де .

Доведення (від супротивного)

Нехай існує такий період , функції , що не є цілим числом, тоді, , де , . Але і - періоди функції і тому числа й належить і .

Тобто число < , є періодом функції . Це суперечить припущенню, що ‒ найменший додатний період функції . Отже, припущення невірне, тобто ‒ ціле число.

Приклад: Доведемо, що функція періодична і її найменший додатний період рівний .

Катангенс визначений при усіх значеннях аргументу, не рівних . Тому область визначення цієї функції складається з таких , що

, тобто .

Звідси слідує , що разом з довільним містить і усі точки виду

. Очевидно є періодом функції .

Залишається довести, що число ‒ найменший додатний період . Припустимо, що періодом є таке число , що . Тоді справедлива рівність

оскільки ‒ період функції. Але це означає, що . Але ‒ найменший додатний період функції , пришли до суперечності.

Справедливе також твердження:

Якщо функція періодична і має період , то функція , де ‒ сталі, і , також періодична, причому її період рівний .

З цього твердження слідує, що для функцій . Для функцій .

Проте функція, яка є алгебраїчною сумою, добутком, часткою 2-х або декількох функцій з різними періодами, може виявитися і неперіодичною.

Наприклад: функції ‒ періодичні, якщо число є раціональним числом, і неперіодичною, якщо ‒ ірраціональне число.

Так, функція ‒ періодична, оскільки ‒ раціональне число , а функція ‒ неперіодична, оскільки ‒ ірраціональне число.

Період функції.

де сума 2-х чи декількох членів ряду тотожно не дорівнює нулю

і відмінні від нуля, .

, де .

Аналогічно, період функції

знайдемо за формулою .

Якщо , де , то період функції рівний ; а період функції за формулою: .

Наприклад : ;

.

Переглядів: 5549

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.