Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Побудова графіків функцій

1. Графік функції .

Якщо дві точки і симетричні відносно осі ординат, то очевидно: .

Справедливо і обернене: якщо координати 2-х точок і задовольняють співвідношенням , то точки і симетричні відносно осі ординат. Користуючись цими міркуваннями можна встановити вид графіку функції , якщо графік заданий.

Правило №1: Графік функції отримується з графіка функції шляхом симетричного відображення точок цього графіка відносно осі .

2. Графік функції .

Якщо дві точки і симетричні відносно осі абсцис, то: і . Справедливо і зворотне: якщо координати 2-х точок і задовольняють умовам: і , то точки і симетричні відносно осі абсцис.

Тому графіки функцій і симетричні відносно осі абсцис.

Правило № 2: Графік функції отримується з графіка функції шляхом симетричного відображення точок цього графіку відносно осі .

3. Графік функції .

Множини визначення функцій і співпадають.

Нехай , тоді і є значеннями функцій відповідно і в цій точці.

Тому точка належить графіку функції, , а точка ‒ графіку функції . Але точку можна отримати перенесенням точки вгору на відстань , якщо і вниз на відстань, , якщо .

Правило №3: Графік функції отримується з графіка функції шляхом паралельного перенесення на одиниць вгору, , і на одиниць донизу, якщо .

Зауваження: Якщо дві точки і симетричні відносно прямої , паралельної осі абсцис, то

або .

Справедливо і обернене твердження: якщо координати двох точок і задовольняють умові: , то точки і симетричні відносно прямої .

Ці твердження вірні для, , і для .

Графіки функцій і симетричні відносно прямої .

4. Графік функції

Нехай , тоді . Тобто область визначення функції відносно області визначення функції зміщується на відстань управо, якщо , і вліво, якщо .

Очевидно, що якщо точка перенесена паралельно осі абсцис на відрізок праворуч , то нові координати перенесеної точки задовольняють співвідношенням:

є значенням функції для , і тому точка графіку функції .

Функція набуває тих же самих значень для і тому точка графіку функції .

Точки і мають рівні між собою ординати, але різні абсциси. Якщо , то лежить ліворуч від точки на відстані , а якщо , то справа на тій же відстані.

Таким чином точку можна отримати перенесенням точки уздовж осі абсцис управо на відстань, , якщо і ліворуч, якщо .

Правило №4: Графік функції отримується з графіка функції шляхом паралельного перенесення на одиниць вліво, якщо і вправо якщо . .

Зауваження: Якщо дві точки і симетричні відносно прямої , то , або .

Справедливо і обернене: якщо координати двох точок і такі, що , то точки і симетричні відносно прямої .

На основі цих тверджень можна встановити вид графіка функції , якщо графік заданий. Нехай точка графіка . Графіку повинна належати точка з такою ж ординатою і абсцисою , якщо, , тобто, якщо , або . Але ж це є умова симетричності точок і відносно прямої .

Висновок: Графіки функцій і симетричні відносно прямої .

Для парних функцій . Тому графік можна розглядати і як результат паралельного перенесення на одиниць(управо при ) графіку і як результат симетрії відносно осі графіку .

Для непарних функцій . Тому графік можна отримати в результаті паралельного перенесення графіку (на одиниць управо при ), а також в результаті симетрії графіку відносно осі і подальшою симетрією відносно осі абсцис.

Для функцій, що не є ні парними, ні непарними таке подвійне перетворення графіка неможливо.

5. Графік функції .

1. , тоді ,

2. .

Якщо узяти деяке значення і , то і буде відповідно значеннями цих функцій в точці .

Для і тоді точка знаходиться від осі абсцис в раз далі, ніж точка .

При і тоді точка в раз лежить ближче до осі абсцис, ніж точка .

Правило №5: Графік функції отримується із графіка функції шляхом стискання графік до осі абсцис в разів при або розтягування в раз графіка від осі абсцис при .

При до перетворення стискання з коефіцієнтом, рівним приєднується симетрія відносно осі абсцис.

6. Графік функції

1. , тоді ,

2. .

Нехай , тоді . Звідси область визначення функції , за умови, що вона задана проміжком, стискається в разів до осі ординат при і розтягується в разів від осі ординат для .

‒ значення функції в точці , точка належить графіку цієї функції;

Функція набуває таких же значень для і тому точка належить графіку функції .

Точки і мають однакові ординати, але різні абсциси.

Якщо, , то точка лежить в разів ближче до осі ординат, ніж точка , а для ‒ в разів далі.

Правило №6: Графік функції є результатом стискання до осі ординат графіка в разів для , або розтягування від осі ординат в разів, якщо .

При до перетворення стискання приєднується симетрія відносно осі ординат.

Деякі графіки функцій можна розглянути з подвійним тлумаченням:

Приклад: Побудуйте графік функції .

Розв'язання. Схема побудови має такий вигляд:

Побудову графіка можна вести й за такою схемою

7. Графік функції .

Оскільки функція ‒ парна, то досить побудувати графік функції для і відобразити його симетрично осі ординат.

Приклад: .

‒ симетрія відносно осі , але при .

Тому досить побудувати на інтервалі графік і відобразити його симетрично відносно осі . Графіком об’єднує обидві гілки .

Правило: Щоб побудувати графік функції , необхідно:

1) побудувати графік функції на ,

2) побудувати графік функції за правилом побудови графіку , тобто симетрично відносно .

Приклад : , .

Правило: Щоб побудувати графік функції , слід побудувати графік функції на множині і добудувати до нього симетричну криву відносно прямої .

8. Графік функції .

Функція набуває тільки невід’ємного значення, за означенням модуля:

Графіки і симетричні відносно осі .

Правило 8: Графік функції отримується із графіка функції шляхом симетричного відображення відносно осі тієї частини графіка, яка лежить нижче осі .

Приклад 1. Побудуйте графік функції .

Розв’язання. Побудувати шуканий графік можна за таким планом:

Приклад 2. Побудуйте графік функції .

Розв’язання. Побудувати шуканий графік можна за таким планом:

9. Побудова графіків, аналітичні вирази яких доцільно спростити.

Задана функція , перетворивши її отримуємо . Досліджуємо функцію і будуємо її графік для .

Приклад :

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.011 сек.