Границя функції в точці

Нехай функція задана в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки _.

Означення 3. Число b називається границею функції при x, що прямуєдо (або в точці ),якщо для будь-якого (як завгодно малого), знайдеться таке додатне число , що для всіх х, таких, що виконується нерівність .

Коротко це означення записують так .

В подальшому, для скорочення записів, будемо вживати три найпростіші символи або квантори:

― означає "для будь-якого", "для всякого"; ― означає "існує", "знайдеться"; ― означає "виконується", "слідує".

Тоді на мові кванторів означення границі запишеться так:

На рис. 5.10 показано геометричну інтерпретацію границі функції в точці: число b є границею функції при , якщо для довільного ε-околу точки b знайдеться δ- окіл точки , такий, що коли значення аргументу х взяти з множини , то відповідні значення функції лежатимуть в ε-околі точки b.

Приклад 5.4. Довести, що .

Розв’язування. Згідно означення границі, маємо:

З останньої нерівності випливає, що . Для того, щоб виконувалась остання нерівність достатньо взяти .

Зауваження. Якщо функція має границю число , лише при умові, що зліва, то використовується запис: , а число називається однобічною границею функції зліва.