• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Границя функції на нескінченності. Нескінченно велика функція

Вище ми розглянули границю функції в скінченій точці . Досліджуючи функції, визначені на нескінченних проміжках, часто доводиться досліджувати поведінку цих функцій при як завгодно великих за модулем значеннях аргументу х, тобто при .

Означення 4. Число b називається границею функції при , що прямує до нескінченності , якщо для будь-якого , знайдеться таке додатне число , що для всіх таких, що , справедлива нерівність .

Дамо означення границі функції за допомогою логічних символів:

.

Ця границя записується так: .

Зокрема, якщо відомо, що існують границі лише коли змінна прямує до чи , то границі записуються у вигляді: , .

Геометрична інтерпретація границі на нескінченності (рис. 5.12).

Нерівність еквівалентна подвійній нерівності .

Вище розглядались випадки, коли функція мала границю деяке скінчене число. Тепер розглянемо випадок, коли границею функції є нескінченність.

Означення 5. Функція при називається нескінченно великою (має границю ), якщо вона визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки і для довільного числа існує таке число , що для всіх х, які задовольняють нерівності , виконується нерівність . Вживаються позначення: або при .

Якщо прямує до нескінченності при і при цьому набуває лише додатних значень (рис. 5.13) або лише від’ємних значень (рис. 5.14), то записують:

або .

Функцію , задану на всій числовій прямій, називають нескінченно великою при і пишуть , якщо для довільного числа існує таке число , що для всіх х, які задовольняють нерівності , виконується нерівність (рис. 5.15).

Зокрема, функція є нескінченно великою при , якщо

, , , .

3.5. Нескінченно малі величини та їх властивості

Означення 6. Функція називається нескінченно малою величиною при або при , якщо .

Так, наприклад, нехай . Тоді . Отже, функція в околі точки є нескінченно малою.

Аналогічно, функція є нескінченно малою при , оскільки .

Розглянемо основні властивості нескінченно малих величин:

1⁰. Якщо функція є нескінченно мала величина при або при , то функція є нескінченно велика при або при . І навпаки, якщо функція f(x) нескінченно велика при ( ), то функція є нескінченно малою при .

Наприклад, є нескінченно малою величиною при , а функція є нескінченно великою при .

2⁰.Для того, що число b було границею функції при , необхідно і достатньо, щоб різниця була нескінченно малою величиною, тобто

, де .

3⁰.Сума (різниця) двох нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

4⁰.Добуток обмеженої функції на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

5⁰.Частка від ділення нескінченно малої величини на функцію, що має границю відмінну від нуля,є нескінченно малою величиною.

3.6. Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих величин

Нехай і – нескінченно малі величини при . Тоді якщо:

а) , то нескінченно мала вищого порядку, ніж

б) , то і нескінченно малі одного порядку малості;

в) , то і є еквівалентними нескінченно малими величинами.

Переглядів: 1611

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.