Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Враховуючи, що

Позначимо , прийдемо до системи

(1.10)

Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:

при (1.11)

Перейдемо до полярних координат:

Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати

Помножимо перше рівняння на ,друге наі складемо:

(1.12)

Домножимо перше рівняння на ,друге наі складемо:

(1.13)

Перепишемо в нових змінних умови (1.11):

Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді

(1.14)

(1.15)

Звідки маємо

(1.6)

Константа має цікаву гнометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора обчислюється за формулою

Звідки

(1.17)

,або

Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі.

1-ій закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.

Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’зок має еліпсоідальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:

2-ій закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

З аналізу траєкторій випливає таке твердження:

3-ій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам великих осей їх орбіт.

1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях.

Пропит і пропозиція – економічній категорії товарного виробництва. Пропит – представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція – продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього.

Нехай – ціна, наприклад, на фрукти,– тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними. Часто попит і пропозиція задаються лінійними

(1.17)

залежностями. Наприклад:

Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:

Звідки

(1.8)

Припустимо, що в момент 1кг фруктів коштував 1крб. Тоді ,, отже

(1.19)

Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.

1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнитних поясах.

Швидкість зміни імпульсу частинки

дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї

(1.20)

де – зарядове число, – заряд частинки, – вектор напруженності прискорюючого поля, – вектор магнітної індукції,– вектор швидкості частинки.

де – маса спокою, -приведена енергія частинки.

- векторний добуток двох змінних.

З (1.20) маємо:

(1.21)

Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил).

Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:

(1.22)

Визначимо

тобто

так як , то визначимо:

Тому

(1.23)

Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.

Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела:

(1.24)

Тут – електрична і магнітна сталі, – об’ємна густина заряду, – вектор густини струму, -знак транспонування.

А (1.24) – це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем.

1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях.

Біологія. Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу . Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцієн площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і верікаллю листка. Маємо модель:

де (1.25)

– const, ,– коефіцієнт пропорційності; розв’язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:

(1.26)

Математика. Обчислити невласний інтеграл

(1.27)

залежний від параметра .

Знайдемо похідну:

Отримали диференціальне рівняння

(1.28)

При цьому відомо:

(1.29)

Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:

(1.30)

1.7. Побудова диференціальнихрівнянь з заданими параметричними сімействами кривих.

Припустимо, шо задано однопараметричне сімейство кривих:

(1.31)

Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо:

(1.32)

Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.

Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих:

(1.33)

то до (1.33) додаються дані співвідношення:

(1.34)

з(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких , вилучаються сталі і отримане таким чином співвідношення між

(1.35)

і буде шуканим диференціальним рівняння -го порядку.

В (1.32) та (1.34) означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.