• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

П Л А Н

Завдання додому

Конспект; [1] с. 342 – 354;

[2] с. 267 – 271.

Питання для самоконтролю

1. Розкладання правильного дробу на суму найпростіших.

2. Інтегрування раціонального дробу.

3. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен.

Л Е К Ц І Я 22

Тема: Визначений інтеграл.

Мета: ознайомити з задачами, що приводять до поняття визначеного інтеграла, з означенням визначеного інтеграла та його властивостями, теоремою Ньютона-Лейбніца.

Література: [1, с. 365-385]; [6, с. 392-400].

1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

2. Означення визначеного інтеграла та його властивості.

3. Теорема Ньютона-Лейбніца.

1. До поняття визначеного інтеграла приводять такі задачі:

1) про площу криволінійної трапеції;

2) про об’єм просторового тіла;

3) про роботу змінної сили;

4) про пройдений шлях та інші.

Розглянемо одну з цих задач: про площу криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку [а; b] задано функцію

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком даної функції у=f (x) (зверху), віссю абсцис (у=0) та відрізками прямих х=а, х=b (по боках).

Знайдемо S ABCD

y C Розіб’ємо відрізок [а; b] на n частинних

відрізків за допомогою точок

B а=х₀ < x₁ < x₂ <… <x_n = b

A D

0 a x₁ x₂ b x

x₀ x_n

Позначимо довжини частинних відрізків через x₁ =x₁– x₀; x₂ =x₂ – x₁; ...

x_i =x_i – x_i-1;

x_n =x_n – x_n-1;

Площа і – го прямокутника

Знайдемо суму площ всіх прямокутників, одержимо площу ступінчатої фігури:

Площа ступінчатої фігури наближено дорівнює площі криволінійної трапеції

S ABCD

Спрямуємо число частинних відрізків відрізка [а; b] до нескінченності

, тоді довжина кожного частинного відрізка буде прямувати до нуля (максимальна) ( max ), а площа ступінчатої фігури буде прямувати до площі трапеції, тобто:

- (границя суми нескінченно великого числа

нескінченно малих доданків)

Вираз називається інтегральною сумою, а границя її (якщо вона існує) - визначеним інтегралом.

а і b – відповідно нижня і верхня межа інтегрування;

- підінтегральна функція;

- підінтегральний вираз

- змінна інтегрування;

[а; b] – проміжок інтегрування.

Теорема 1 (достатня умова інтегрованості)

Якщо функція неперервна на відрізку [а; b], то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 2

Якщо функція обмежена на відрізку [а; b] і неперервна в ньому скрізь, крім скінченного числа точок, в яких функція має розрив першого роду, то вона інтегрована на цьому відрізку.

2. Властивості визначеного інтеграла.

1) Геометричний зміст – це площа відповідної криволінійної трапеції.

2)

3)

4)

5)

6) (аддитивність)

7)

у у

-а 0

-а 0 а х а х

Приклад: 1)

2)

Формула Ньютона-Лейбніца

Теорема: Якщо є первісною для неперервної функції на відрізку [а; b], то справедлива формула:

Приклад:

у

у=х² Геометрично результат дорівнює площі

криволінійної трапеції, обмеженої зверху параболою

у=х² на відрізку [-1; 3]

-1 0 3 х

Переглядів: 409