Визначення. Дві вершини „a” і „b” графу G називаються зв’язними, якщо існує маршрут S(a, b).
Якщо в S(a, b) деяка вершина vi повторюється більше одного разу, то відкидаючи циклічну ділянку S(vi, vi), отримаємо новий маршрут S’(a, b), в якому вершина vi зустрічається тільки один раз. Повторюючи цю процедуру для всіх таких вершин vi, приходимо до висновку: якщо дві вершини в графі можуть бути зв’язані маршрутом, то існує і простий ланцюг, який зв’язує ті ж вершини.
Визначення. Граф G називається зв’язним, якщо зв’язна будь-яка його пара вершин.
Всі підграфи G(Vi) зв’язного графу G(V) є теж зв’язними і називаються зв’язними компонентами графу.
Зауважимо, що зв’язність – відношення еквівалентності між вершинами графу:
а) довільна вершина v графу зв’язана сама з собою;
б) якщо „a” і „b” – зв’язні (тобто існує маршрут S(a, b)), то в силу неорієнтованості графу „b” і „а” теж зв’язані (маршрутом S(b, a));
в) якщо зв’язані „а” і „b” (маршрутом S1(a, b)) і „b” і „с” (маршрутом S2(b, c)), то існує маршрут з „а” в „с” (S1(a, b) + S2(b, c)), тобто вершини „a” і „c” теж зв’язані.
В силу відомого твердження з алгебри, граф G розбивається на класи еквівалентності – підграфи, в яких всі вершини є зв’язаними між собою і які не мають спільних вершин:
, (пряма сума)
таким чином, істинне
Твердження. Довільний неорієнтований граф розбивається на пряму суму своїх зв’язаних компонент.
Це дозволяє більшість задач зводити до випадку зв’язаних графів.